Resolver 2r^2-5r+2=0

$$2 r ^ { 2 } - 5 r + 2 = 0$$

Resolva para r

$$r=\frac{1}{2}=0,5$$

$$r=2$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 2r^{2}+ar+br+2. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-5 ab=2\times 2=4$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são ambos negativos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

A solução é o par que devolve a soma -5.

$$a=-4 b=-1$$

Reescreva 2r^{2}-5r+2 como \left(2r^{2}-4r\right)+\left(-r+2\right).

$$\left(2r^{2}-4r\right)+\left(-r+2\right)$$

Fator out 2r no primeiro e -1 no segundo grupo.

$$2r\left(r-2\right)-\left(r-2\right)$$

Decomponha o termo comum r-2 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(r-2\right)\left(2r-1\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva r-2=0 e 2r-1=0.

$$r=2 r=\frac{1}{2}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$2r^{2}-5r+2=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 2 por a, -5 por b e 2 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

Calcule o quadrado de -5.

$$r=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

Multiplique -4 vezes 2.

$$r=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-8\times 2}}{2\times 2}$$

Multiplique -8 vezes 2.

$$r=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16}}{2\times 2}$$

Some 25 com -16.

$$r=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Calcule a raiz quadrada de 9.

$$r=\frac{-\left(-5\right)±3}{2\times 2}$$

O oposto de -5 é 5.

$$r=\frac{5±3}{2\times 2}$$

Multiplique 2 vezes 2.

$$r=\frac{5±3}{4}$$

Agora, resolva a equação r=\frac{5±3}{4} quando ± for uma adição. Some 5 com 3.

$$r=\frac{8}{4}$$

Divida 8 por 4.

$$r=2$$

Agora, resolva a equação r=\frac{5±3}{4} quando ± for uma subtração. Subtraia 3 de 5.

$$r=\frac{2}{4}$$

Reduza a fração \frac{2}{4} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$r=\frac{1}{2}$$

A equação está resolvida.

$$r=2 r=\frac{1}{2}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$2r^{2}-5r+2=0$$

Subtraia 2 de ambos os lados da equação.

$$2r^{2}-5r+2-2=-2$$

Subtrair 2 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$2r^{2}-5r=-2$$

Divida ambos os lados por 2.

$$\frac{2r^{2}-5r}{2}=-\frac{2}{2}$$

Dividir por 2 anula a multiplicação por 2.

$$r^{2}-\frac{5}{2}r=-\frac{2}{2}$$

Divida -2 por 2.

$$r^{2}-\frac{5}{2}r=-1$$

Divida -\frac{5}{2}, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{5}{4}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{5}{4} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$r^{2}-\frac{5}{2}r+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{5}{4}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$r^{2}-\frac{5}{2}r+\frac{25}{16}=-1+\frac{25}{16}$$

Some -1 com \frac{25}{16}.

$$r^{2}-\frac{5}{2}r+\frac{25}{16}=\frac{9}{16}$$

Fatorize r^{2}-\frac{5}{2}r+\frac{25}{16}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(r-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Simplifique.

$$r-\frac{5}{4}=\frac{3}{4} r-\frac{5}{4}=-\frac{3}{4}$$

Some \frac{5}{4} a ambos os lados da equação.

$$r=2 r=\frac{1}{2}$$