Resolver 15b^2-100b-160

$$15 b ^ { 2 } - 100 b - 160$$

Fatorizar

$$5\left(b-8\right)\left(3b+4\right)$$

Passos Para a Resolução

Decomponha 5.

$$5\left(3b^{2}-20b-32\right)$$

Considere 3b^{2}-20b-32. Fatorize a expressão ao agrupar. Em primeiro lugar, a expressão tem de ser reescrita como 3b^{2}+pb+qb-32. Para encontrar p e q, criar um sistema a ser resolvido.

$$p+q=-20 pq=3\left(-32\right)=-96$$

Uma vez que pq é negativo, p e q têm os sinais opostos. Uma vez p+q negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -96.

$$1,-96 2,-48 3,-32 4,-24 6,-16 8,-12$$

Calcule a soma de cada par.

$$1-96=-95 2-48=-46 3-32=-29 4-24=-20 6-16=-10 8-12=-4$$

A solução é o par que devolve a soma -20.

$$p=-24 q=4$$

Reescreva 3b^{2}-20b-32 como \left(3b^{2}-24b\right)+\left(4b-32\right).

$$\left(3b^{2}-24b\right)+\left(4b-32\right)$$

Fator out 3b no primeiro e 4 no segundo grupo.

$$3b\left(b-8\right)+4\left(b-8\right)$$

Decomponha o termo comum b-8 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(b-8\right)\left(3b+4\right)$$

Reescreva a expressão fatorizada completa.

$$5\left(b-8\right)\left(3b+4\right)$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

O polinómio quadrático pode ser fatorizado através da transformação ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), em que x_{1} e x_{2} são as soluções da equação quadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$15b^{2}-100b-160=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$b=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{\left(-100\right)^{2}-4\times 15\left(-160\right)}}{2\times 15}$$

Calcule o quadrado de -100.

$$b=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{10000-4\times 15\left(-160\right)}}{2\times 15}$$

Multiplique -4 vezes 15.

$$b=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{10000-60\left(-160\right)}}{2\times 15}$$

Multiplique -60 vezes -160.

$$b=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{10000+9600}}{2\times 15}$$

Some 10000 com 9600.

$$b=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{19600}}{2\times 15}$$

Calcule a raiz quadrada de 19600.

$$b=\frac{-\left(-100\right)±140}{2\times 15}$$

O oposto de -100 é 100.

$$b=\frac{100±140}{2\times 15}$$

Multiplique 2 vezes 15.

$$b=\frac{100±140}{30}$$

Agora, resolva a equação b=\frac{100±140}{30} quando ± for uma adição. Some 100 com 140.

$$b=\frac{240}{30}$$

Divida 240 por 30.

$$b=8$$

Agora, resolva a equação b=\frac{100±140}{30} quando ± for uma subtração. Subtraia 140 de 100.

$$b=-\frac{40}{30}$$

Reduza a fração \frac{-40}{30} para os termos mais baixos ao retirar e anular 10.

$$b=-\frac{4}{3}$$

Fatorize a expressão original através de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Substitua 8 por x_{1} e -\frac{4}{3} por x_{2}.

$$15b^{2}-100b-160=15\left(b-8\right)\left(b-\left(-\frac{4}{3}\right)\right)$$

Simplifique todas as expressões de p-\left(-q\right) para p+q.

$$15b^{2}-100b-160=15\left(b-8\right)\left(b+\frac{4}{3}\right)$$

Some \frac{4}{3} com b ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$15b^{2}-100b-160=15\left(b-8\right)\times \frac{3b+4}{3}$$

Anule o maior fator comum 3 em 15 e 3.

$$15b^{2}-100b-160=5\left(b-8\right)\left(3b+4\right)$$

Avaliar

$$5\left(b-8\right)\left(3b+4\right)$$