Resolver 13n^2-41n-120=0

$$13 n ^ { 2 } - 41 n - 120 = 0$$

Resolva para n

$$n = -\frac{24}{13} = -1\frac{11}{13} \approx -1,846153846$$

$$n=5$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 13n^{2}+an+bn-120. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-41 ab=13\left(-120\right)=-1560$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez a+b negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -1560.

$$1,-1560 2,-780 3,-520 4,-390 5,-312 6,-260 8,-195 10,-156 12,-130 13,-120 15,-104 20,-78 24,-65 26,-60 30,-52 39,-40$$

Calcule a soma de cada par.

$$1-1560=-1559 2-780=-778 3-520=-517 4-390=-386 5-312=-307 6-260=-254 8-195=-187 10-156=-146 12-130=-118 13-120=-107 15-104=-89 20-78=-58 24-65=-41 26-60=-34 30-52=-22 39-40=-1$$

A solução é o par que devolve a soma -41.

$$a=-65 b=24$$

Reescreva 13n^{2}-41n-120 como \left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right).

$$\left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right)$$

Fator out 13n no primeiro e 24 no segundo grupo.

$$13n\left(n-5\right)+24\left(n-5\right)$$

Decomponha o termo comum n-5 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(n-5\right)\left(13n+24\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva n-5=0 e 13n+24=0.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$13n^{2}-41n-120=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 13 por a, -41 por b e -120 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

Calcule o quadrado de -41.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

Multiplique -4 vezes 13.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-52\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

Multiplique -52 vezes -120.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681+6240}}{2\times 13}$$

Some 1681 com 6240.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{7921}}{2\times 13}$$

Calcule a raiz quadrada de 7921.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±89}{2\times 13}$$

O oposto de -41 é 41.

$$n=\frac{41±89}{2\times 13}$$

Multiplique 2 vezes 13.

$$n=\frac{41±89}{26}$$

Agora, resolva a equação n=\frac{41±89}{26} quando ± for uma adição. Some 41 com 89.

$$n=\frac{130}{26}$$

Divida 130 por 26.

$$n=5$$

Agora, resolva a equação n=\frac{41±89}{26} quando ± for uma subtração. Subtraia 89 de 41.

$$n=-\frac{48}{26}$$

Reduza a fração \frac{-48}{26} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$n=-\frac{24}{13}$$

A equação está resolvida.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$13n^{2}-41n-120=0$$

Some 120 a ambos os lados da equação.

$$13n^{2}-41n-120-\left(-120\right)=-\left(-120\right)$$

Subtrair -120 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$13n^{2}-41n=-\left(-120\right)$$

Subtraia -120 de 0.

$$13n^{2}-41n=120$$

Divida ambos os lados por 13.

$$\frac{13n^{2}-41n}{13}=\frac{120}{13}$$

Dividir por 13 anula a multiplicação por 13.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n=\frac{120}{13}$$

Divida -\frac{41}{13}, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{41}{26}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{41}{26} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{120}{13}+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{41}{26}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{120}{13}+\frac{1681}{676}$$

Some \frac{120}{13} com \frac{1681}{676} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{7921}{676}$$

Fatorize n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{7921}{676}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7921}{676}}$$

Simplifique.

$$n-\frac{41}{26}=\frac{89}{26} n-\frac{41}{26}=-\frac{89}{26}$$

Some \frac{41}{26} a ambos os lados da equação.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$