Resolver 12x^2+17x-7=0

$$12 x ^ { 2 } + 17 x - 7 = 0$$

Resolva para x

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1,75$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 12x^{2}+ax+bx-7. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=17 ab=12\left(-7\right)=-84$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -84.

$$-1,84 -2,42 -3,28 -4,21 -6,14 -7,12$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+84=83 -2+42=40 -3+28=25 -4+21=17 -6+14=8 -7+12=5$$

A solução é o par que devolve a soma 17.

$$a=-4 b=21$$

Reescreva 12x^{2}+17x-7 como \left(12x^{2}-4x\right)+\left(21x-7\right).

$$\left(12x^{2}-4x\right)+\left(21x-7\right)$$

Fator out 4x no primeiro e 7 no segundo grupo.

$$4x\left(3x-1\right)+7\left(3x-1\right)$$

Decomponha o termo comum 3x-1 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(3x-1\right)\left(4x+7\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva 3x-1=0 e 4x+7=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{4}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$12x^{2}+17x-7=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 12 por a, 17 por b e -7 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 12\left(-7\right)}}{2\times 12}$$

Calcule o quadrado de 17.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 12\left(-7\right)}}{2\times 12}$$

Multiplique -4 vezes 12.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-48\left(-7\right)}}{2\times 12}$$

Multiplique -48 vezes -7.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289+336}}{2\times 12}$$

Some 289 com 336.

$$x=\frac{-17±\sqrt{625}}{2\times 12}$$

Calcule a raiz quadrada de 625.

$$x=\frac{-17±25}{2\times 12}$$

Multiplique 2 vezes 12.

$$x=\frac{-17±25}{24}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-17±25}{24} quando ± for uma adição. Some -17 com 25.

$$x=\frac{8}{24}$$

Reduza a fração \frac{8}{24} para os termos mais baixos ao retirar e anular 8.

$$x=\frac{1}{3}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-17±25}{24} quando ± for uma subtração. Subtraia 25 de -17.

$$x=-\frac{42}{24}$$

Reduza a fração \frac{-42}{24} para os termos mais baixos ao retirar e anular 6.

$$x=-\frac{7}{4}$$

A equação está resolvida.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{4}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+17x-7=0$$

Some 7 a ambos os lados da equação.

$$12x^{2}+17x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Subtrair -7 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$12x^{2}+17x=-\left(-7\right)$$

Subtraia -7 de 0.

$$12x^{2}+17x=7$$

Divida ambos os lados por 12.

$$\frac{12x^{2}+17x}{12}=\frac{7}{12}$$

Dividir por 12 anula a multiplicação por 12.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x=\frac{7}{12}$$

Divida \frac{17}{12}, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{17}{24}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{17}{24} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x+\left(\frac{17}{24}\right)^{2}=\frac{7}{12}+\left(\frac{17}{24}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{17}{24}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x+\frac{289}{576}=\frac{7}{12}+\frac{289}{576}$$

Some \frac{7}{12} com \frac{289}{576} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x+\frac{289}{576}=\frac{625}{576}$$

Fatorize x^{2}+\frac{17}{12}x+\frac{289}{576}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{17}{24}\right)^{2}=\frac{625}{576}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{576}}$$

Simplifique.

$$x+\frac{17}{24}=\frac{25}{24} x+\frac{17}{24}=-\frac{25}{24}$$

Subtraia \frac{17}{24} de ambos os lados da equação.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{4}$$