Resolver 11x^2-98x-120=0

$$11 x ^ { 2 } - 98 x - 120 = 0$$

Resolva para x

$$x = -\frac{12}{11} = -1\frac{1}{11} \approx -1,090909091$$

$$x=10$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 11x^{2}+ax+bx-120. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-98 ab=11\left(-120\right)=-1320$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez a+b negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -1320.

$$1,-1320 2,-660 3,-440 4,-330 5,-264 6,-220 8,-165 10,-132 11,-120 12,-110 15,-88 20,-66 22,-60 24,-55 30,-44 33,-40$$

Calcule a soma de cada par.

$$1-1320=-1319 2-660=-658 3-440=-437 4-330=-326 5-264=-259 6-220=-214 8-165=-157 10-132=-122 11-120=-109 12-110=-98 15-88=-73 20-66=-46 22-60=-38 24-55=-31 30-44=-14 33-40=-7$$

A solução é o par que devolve a soma -98.

$$a=-110 b=12$$

Reescreva 11x^{2}-98x-120 como \left(11x^{2}-110x\right)+\left(12x-120\right).

$$\left(11x^{2}-110x\right)+\left(12x-120\right)$$

Fator out 11x no primeiro e 12 no segundo grupo.

$$11x\left(x-10\right)+12\left(x-10\right)$$

Decomponha o termo comum x-10 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-10\right)\left(11x+12\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-10=0 e 11x+12=0.

$$x=10 x=-\frac{12}{11}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$11x^{2}-98x-120=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 11 por a, -98 por b e -120 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-98\right)±\sqrt{\left(-98\right)^{2}-4\times 11\left(-120\right)}}{2\times 11}$$

Calcule o quadrado de -98.

$$x=\frac{-\left(-98\right)±\sqrt{9604-4\times 11\left(-120\right)}}{2\times 11}$$

Multiplique -4 vezes 11.

$$x=\frac{-\left(-98\right)±\sqrt{9604-44\left(-120\right)}}{2\times 11}$$

Multiplique -44 vezes -120.

$$x=\frac{-\left(-98\right)±\sqrt{9604+5280}}{2\times 11}$$

Some 9604 com 5280.

$$x=\frac{-\left(-98\right)±\sqrt{14884}}{2\times 11}$$

Calcule a raiz quadrada de 14884.

$$x=\frac{-\left(-98\right)±122}{2\times 11}$$

O oposto de -98 é 98.

$$x=\frac{98±122}{2\times 11}$$

Multiplique 2 vezes 11.

$$x=\frac{98±122}{22}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{98±122}{22} quando ± for uma adição. Some 98 com 122.

$$x=\frac{220}{22}$$

Divida 220 por 22.

$$x=10$$

Agora, resolva a equação x=\frac{98±122}{22} quando ± for uma subtração. Subtraia 122 de 98.

$$x=-\frac{24}{22}$$

Reduza a fração \frac{-24}{22} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$x=-\frac{12}{11}$$

A equação está resolvida.

$$x=10 x=-\frac{12}{11}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$11x^{2}-98x-120=0$$

Some 120 a ambos os lados da equação.

$$11x^{2}-98x-120-\left(-120\right)=-\left(-120\right)$$

Subtrair -120 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$11x^{2}-98x=-\left(-120\right)$$

Subtraia -120 de 0.

$$11x^{2}-98x=120$$

Divida ambos os lados por 11.

$$\frac{11x^{2}-98x}{11}=\frac{120}{11}$$

Dividir por 11 anula a multiplicação por 11.

$$x^{2}-\frac{98}{11}x=\frac{120}{11}$$

Divida -\frac{98}{11}, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{49}{11}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{49}{11} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-\frac{98}{11}x+\left(-\frac{49}{11}\right)^{2}=\frac{120}{11}+\left(-\frac{49}{11}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{49}{11}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-\frac{98}{11}x+\frac{2401}{121}=\frac{120}{11}+\frac{2401}{121}$$

Some \frac{120}{11} com \frac{2401}{121} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}-\frac{98}{11}x+\frac{2401}{121}=\frac{3721}{121}$$

Fatorize x^{2}-\frac{98}{11}x+\frac{2401}{121}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{49}{11}\right)^{2}=\frac{3721}{121}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{49}{11}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3721}{121}}$$

Simplifique.

$$x-\frac{49}{11}=\frac{61}{11} x-\frac{49}{11}=-\frac{61}{11}$$

Some \frac{49}{11} a ambos os lados da equação.

$$x=10 x=-\frac{12}{11}$$