Resolver 0=-16t^2+48t-32

$$0 = - 16 t ^ { 2 } + 48 t - 32$$

Resolva para t

$$t=1$$

$$t=2$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Troque os lados para que todos os termos variáveis estejam no lado esquerdo.

$$-16t^{2}+48t-32=0$$

Divida ambos os lados por 16.

$$-t^{2}+3t-2=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como -t^{2}+at+bt-2. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=3 ab=-\left(-2\right)=2$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é positivo, a e b são ambos positivos. O único par é a solução do sistema.

$$a=2 b=1$$

Reescreva -t^{2}+3t-2 como \left(-t^{2}+2t\right)+\left(t-2\right).

$$\left(-t^{2}+2t\right)+\left(t-2\right)$$

Decomponha -t em -t^{2}+2t.

$$-t\left(t-2\right)+t-2$$

Decomponha o termo comum t-2 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(t-2\right)\left(-t+1\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva t-2=0 e -t+1=0.

$$t=2 t=1$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Troque os lados para que todos os termos variáveis estejam no lado esquerdo.

$$-16t^{2}+48t-32=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua -16 por a, 48 por b e -32 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\left(-16\right)\left(-32\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Calcule o quadrado de 48.

$$t=\frac{-48±\sqrt{2304-4\left(-16\right)\left(-32\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplique -4 vezes -16.

$$t=\frac{-48±\sqrt{2304+64\left(-32\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplique 64 vezes -32.

$$t=\frac{-48±\sqrt{2304-2048}}{2\left(-16\right)}$$

Some 2304 com -2048.

$$t=\frac{-48±\sqrt{256}}{2\left(-16\right)}$$

Calcule a raiz quadrada de 256.

$$t=\frac{-48±16}{2\left(-16\right)}$$

Multiplique 2 vezes -16.

$$t=\frac{-48±16}{-32}$$

Agora, resolva a equação t=\frac{-48±16}{-32} quando ± for uma adição. Some -48 com 16.

$$t=-\frac{32}{-32}$$

Divida -32 por -32.

$$t=1$$

Agora, resolva a equação t=\frac{-48±16}{-32} quando ± for uma subtração. Subtraia 16 de -48.

$$t=-\frac{64}{-32}$$

Divida -64 por -32.

$$t=2$$

A equação está resolvida.

$$t=1 t=2$$

Passos Para Completar o Quadrado

Troque os lados para que todos os termos variáveis estejam no lado esquerdo.

$$-16t^{2}+48t-32=0$$

Adicionar 32 em ambos os lados. Qualquer valor mais zero dá o valor inicial.

$$-16t^{2}+48t=32$$

Divida ambos os lados por -16.

$$\frac{-16t^{2}+48t}{-16}=\frac{32}{-16}$$

Dividir por -16 anula a multiplicação por -16.

$$t^{2}+\frac{48}{-16}t=\frac{32}{-16}$$

Divida 48 por -16.

$$t^{2}-3t=\frac{32}{-16}$$

Divida 32 por -16.

$$t^{2}-3t=-2$$

Divida -3, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{3}{2}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{3}{2} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$t^{2}-3t+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{3}{2}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}$$

Some -2 com \frac{9}{4}.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$$

Fatorize t^{2}-3t+\frac{9}{4}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Simplifique.

$$t-\frac{3}{2}=\frac{1}{2} t-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

Some \frac{3}{2} a ambos os lados da equação.

$$t=2 t=1$$