Resolver (3x+1)^2-5(x+1)(x-1)=8-x

$$( 3 x + 1 ) ^ { 2 } - 5 ( x + 1 ) ( x - 1 ) = 8 - x$$

Resolva para x

$$x=-2$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(3x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)=8-x$$

Subtraia 8 de ambos os lados.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)-8=-x$$

Adicionar x em ambos os lados.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)-8+x=0$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar -5 por x+1.

$$9x^{2}+6x+1+\left(-5x-5\right)\left(x-1\right)-8+x=0$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar -5x-5 por x-1 e combinar termos semelhantes.

$$9x^{2}+6x+1-5x^{2}+5-8+x=0$$

Combine 9x^{2} e -5x^{2} para obter 4x^{2}.

$$4x^{2}+6x+1+5-8+x=0$$

Some 1 e 5 para obter 6.

$$4x^{2}+6x+6-8+x=0$$

Subtraia 8 de 6 para obter -2.

$$4x^{2}+6x-2+x=0$$

Combine 6x e x para obter 7x.

$$4x^{2}+7x-2=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 4x^{2}+ax+bx-2. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=7 ab=4\left(-2\right)=-8$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -8.

$$-1,8 -2,4$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

A solução é o par que devolve a soma 7.

$$a=-1 b=8$$

Reescreva 4x^{2}+7x-2 como \left(4x^{2}-x\right)+\left(8x-2\right).

$$\left(4x^{2}-x\right)+\left(8x-2\right)$$

Fator out x no primeiro e 2 no segundo grupo.

$$x\left(4x-1\right)+2\left(4x-1\right)$$

Decomponha o termo comum 4x-1 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(4x-1\right)\left(x+2\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva 4x-1=0 e x+2=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-2$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(3x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)=8-x$$

Subtraia 8 de ambos os lados.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)-8=-x$$

Adicionar x em ambos os lados.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)-8+x=0$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar -5 por x+1.

$$9x^{2}+6x+1+\left(-5x-5\right)\left(x-1\right)-8+x=0$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar -5x-5 por x-1 e combinar termos semelhantes.

$$9x^{2}+6x+1-5x^{2}+5-8+x=0$$

Combine 9x^{2} e -5x^{2} para obter 4x^{2}.

$$4x^{2}+6x+1+5-8+x=0$$

Some 1 e 5 para obter 6.

$$4x^{2}+6x+6-8+x=0$$

Subtraia 8 de 6 para obter -2.

$$4x^{2}+6x-2+x=0$$

Combine 6x e x para obter 7x.

$$4x^{2}+7x-2=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 4 por a, 7 por b e -2 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Calcule o quadrado de 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Multiplique -4 vezes 4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-16\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Multiplique -16 vezes -2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+32}}{2\times 4}$$

Some 49 com 32.

$$x=\frac{-7±\sqrt{81}}{2\times 4}$$

Calcule a raiz quadrada de 81.

$$x=\frac{-7±9}{2\times 4}$$

Multiplique 2 vezes 4.

$$x=\frac{-7±9}{8}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-7±9}{8} quando ± for uma adição. Some -7 com 9.

$$x=\frac{2}{8}$$

Reduza a fração \frac{2}{8} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$x=\frac{1}{4}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-7±9}{8} quando ± for uma subtração. Subtraia 9 de -7.

$$x=-\frac{16}{8}$$

Divida -16 por 8.

$$x=-2$$

A equação está resolvida.

$$x=\frac{1}{4} x=-2$$

Passos Para Completar o Quadrado

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(3x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)=8-x$$

Adicionar x em ambos os lados.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)+x=8$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar -5 por x+1.

$$9x^{2}+6x+1+\left(-5x-5\right)\left(x-1\right)+x=8$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar -5x-5 por x-1 e combinar termos semelhantes.

$$9x^{2}+6x+1-5x^{2}+5+x=8$$

Combine 9x^{2} e -5x^{2} para obter 4x^{2}.

$$4x^{2}+6x+1+5+x=8$$

Some 1 e 5 para obter 6.

$$4x^{2}+6x+6+x=8$$

Combine 6x e x para obter 7x.

$$4x^{2}+7x+6=8$$

Subtraia 6 de ambos os lados.

$$4x^{2}+7x=8-6$$

Subtraia 6 de 8 para obter 2.

$$4x^{2}+7x=2$$

Divida ambos os lados por 4.

$$\frac{4x^{2}+7x}{4}=\frac{2}{4}$$

Dividir por 4 anula a multiplicação por 4.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x=\frac{2}{4}$$

Reduza a fração \frac{2}{4} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x=\frac{1}{2}$$

Divida \frac{7}{4}, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{7}{8}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{7}{8} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{7}{8}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{2}+\frac{49}{64}$$

Some \frac{1}{2} com \frac{49}{64} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{81}{64}$$

Fatorize x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

Simplifique.

$$x+\frac{7}{8}=\frac{9}{8} x+\frac{7}{8}=-\frac{9}{8}$$

Subtraia \frac{7}{8} de ambos os lados da equação.

$$x=\frac{1}{4} x=-2$$