Resolver (3+r)^2+(15+r)^2=18^2

$$( 3 + r ) ^ { 2 } + ( 15 + r ) ^ { 2 } = 18 ^ { 2 }$$

Resolva para r

$$r=3\sqrt{14}-9\approx 2,22497216$$

$$r=-3\sqrt{14}-9\approx -20,22497216$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(3+r\right)^{2}.

$$9+6r+r^{2}+\left(15+r\right)^{2}=18^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(15+r\right)^{2}.

$$9+6r+r^{2}+225+30r+r^{2}=18^{2}$$

Some 9 e 225 para obter 234.

$$234+6r+r^{2}+30r+r^{2}=18^{2}$$

Combine 6r e 30r para obter 36r.

$$234+36r+r^{2}+r^{2}=18^{2}$$

Combine r^{2} e r^{2} para obter 2r^{2}.

$$234+36r+2r^{2}=18^{2}$$

Calcule 18 elevado a 2 e obtenha 324.

$$234+36r+2r^{2}=324$$

Subtraia 324 de ambos os lados.

$$234+36r+2r^{2}-324=0$$

Subtraia 324 de 234 para obter -90.

$$-90+36r+2r^{2}=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$2r^{2}+36r-90=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 2 por a, 36 por b e -90 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Calcule o quadrado de 36.

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Multiplique -4 vezes 2.

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296-8\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Multiplique -8 vezes -90.

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296+720}}{2\times 2}$$

Some 1296 com 720.

$$r=\frac{-36±\sqrt{2016}}{2\times 2}$$

Calcule a raiz quadrada de 2016.

$$r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{2\times 2}$$

Multiplique 2 vezes 2.

$$r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4}$$

Agora, resolva a equação r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4} quando ± for uma adição. Some -36 com 12\sqrt{14}.

$$r=\frac{12\sqrt{14}-36}{4}$$

Divida -36+12\sqrt{14} por 4.

$$r=3\sqrt{14}-9$$

Agora, resolva a equação r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4} quando ± for uma subtração. Subtraia 12\sqrt{14} de -36.

$$r=\frac{-12\sqrt{14}-36}{4}$$

Divida -36-12\sqrt{14} por 4.

$$r=-3\sqrt{14}-9$$

A equação está resolvida.

$$r=3\sqrt{14}-9 r=-3\sqrt{14}-9$$

Passos Para Completar o Quadrado

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(3+r\right)^{2}.

$$9+6r+r^{2}+\left(15+r\right)^{2}=18^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(15+r\right)^{2}.

$$9+6r+r^{2}+225+30r+r^{2}=18^{2}$$

Some 9 e 225 para obter 234.

$$234+6r+r^{2}+30r+r^{2}=18^{2}$$

Combine 6r e 30r para obter 36r.

$$234+36r+r^{2}+r^{2}=18^{2}$$

Combine r^{2} e r^{2} para obter 2r^{2}.

$$234+36r+2r^{2}=18^{2}$$

Calcule 18 elevado a 2 e obtenha 324.

$$234+36r+2r^{2}=324$$

Subtraia 234 de ambos os lados.

$$36r+2r^{2}=324-234$$

Subtraia 234 de 324 para obter 90.

$$36r+2r^{2}=90$$

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$2r^{2}+36r=90$$

Divida ambos os lados por 2.

$$\frac{2r^{2}+36r}{2}=\frac{90}{2}$$

Dividir por 2 anula a multiplicação por 2.

$$r^{2}+\frac{36}{2}r=\frac{90}{2}$$

Divida 36 por 2.

$$r^{2}+18r=\frac{90}{2}$$

Divida 90 por 2.

$$r^{2}+18r=45$$

Divida 18, o coeficiente do termo x, 2 para obter 9. Em seguida, adicione o quadrado de 9 para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$r^{2}+18r+9^{2}=45+9^{2}$$

Calcule o quadrado de 9.

$$r^{2}+18r+81=45+81$$

Some 45 com 81.

$$r^{2}+18r+81=126$$

Fatorize r^{2}+18r+81. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r+9\right)^{2}=126$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(r+9\right)^{2}}=\sqrt{126}$$

Simplifique.

$$r+9=3\sqrt{14} r+9=-3\sqrt{14}$$

Subtraia 9 de ambos os lados da equação.

$$r=3\sqrt{14}-9 r=-3\sqrt{14}-9$$