Resolver (3+2y)^2+2y^2=3

$$( 3 + 2 y ) ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } = 3$$

Resolva para y

$$y=-1$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(3+2y\right)^{2}.

$$9+12y+4y^{2}+2y^{2}=3$$

Combine 4y^{2} e 2y^{2} para obter 6y^{2}.

$$9+12y+6y^{2}=3$$

Subtraia 3 de ambos os lados.

$$9+12y+6y^{2}-3=0$$

Subtraia 3 de 9 para obter 6.

$$6+12y+6y^{2}=0$$

Divida ambos os lados por 6.

$$1+2y+y^{2}=0$$

Reformule o polinómio para o colocar no formato padrão. Coloque os termos pela ordem da potência mais elevada para a mais baixa.

$$y^{2}+2y+1=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como y^{2}+ay+by+1. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=2 ab=1\times 1=1$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é positivo, a e b são ambos positivos. O único par é a solução do sistema.

$$a=1 b=1$$

Reescreva y^{2}+2y+1 como \left(y^{2}+y\right)+\left(y+1\right).

$$\left(y^{2}+y\right)+\left(y+1\right)$$

Decomponha y em y^{2}+y.

$$y\left(y+1\right)+y+1$$

Decomponha o termo comum y+1 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(y+1\right)\left(y+1\right)$$

Reescreva como um quadrado binomial.

$$\left(y+1\right)^{2}$$

Para localizar a solução da equação, resolva y+1=0.

$$y=-1$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(3+2y\right)^{2}.

$$9+12y+4y^{2}+2y^{2}=3$$

Combine 4y^{2} e 2y^{2} para obter 6y^{2}.

$$9+12y+6y^{2}=3$$

Subtraia 3 de ambos os lados.

$$9+12y+6y^{2}-3=0$$

Subtraia 3 de 9 para obter 6.

$$6+12y+6y^{2}=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$6y^{2}+12y+6=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 6 por a, 12 por b e 6 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 6\times 6}}{2\times 6}$$

Calcule o quadrado de 12.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 6\times 6}}{2\times 6}$$

Multiplique -4 vezes 6.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-24\times 6}}{2\times 6}$$

Multiplique -24 vezes 6.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-144}}{2\times 6}$$

Some 144 com -144.

$$y=\frac{-12±\sqrt{0}}{2\times 6}$$

Calcule a raiz quadrada de 0.

$$y=-\frac{12}{2\times 6}$$

Multiplique 2 vezes 6.

$$y=-\frac{12}{12}$$

Divida -12 por 12.

$$y=-1$$

Passos Para Completar o Quadrado

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(3+2y\right)^{2}.

$$9+12y+4y^{2}+2y^{2}=3$$

Combine 4y^{2} e 2y^{2} para obter 6y^{2}.

$$9+12y+6y^{2}=3$$

Subtraia 9 de ambos os lados.

$$12y+6y^{2}=3-9$$

Subtraia 9 de 3 para obter -6.

$$12y+6y^{2}=-6$$

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$6y^{2}+12y=-6$$

Divida ambos os lados por 6.

$$\frac{6y^{2}+12y}{6}=-\frac{6}{6}$$

Dividir por 6 anula a multiplicação por 6.

$$y^{2}+\frac{12}{6}y=-\frac{6}{6}$$

Divida 12 por 6.

$$y^{2}+2y=-\frac{6}{6}$$

Divida -6 por 6.

$$y^{2}+2y=-1$$

Divida 2, o coeficiente do termo x, 2 para obter 1. Em seguida, adicione o quadrado de 1 para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$y^{2}+2y+1^{2}=-1+1^{2}$$

Calcule o quadrado de 1.

$$y^{2}+2y+1=-1+1$$

Some -1 com 1.

$$y^{2}+2y+1=0$$

Fatorize y^{2}+2y+1. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+1\right)^{2}=0$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(y+1\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplifique.

$$y+1=0 y+1=0$$

Subtraia 1 de ambos os lados da equação.

$$y=-1 y=-1$$

A equação está resolvida. As soluções são iguais.

$$y=-1$$