Resolver (2x+3)(x^2-16)+(x-4)(x+40)=2(x-4)(x^2-16)

$$( 2 x + 3 ) ( x ^ { 2 } - 16 ) + ( x - 4 ) ( x + 40 ) = 2 ( x - 4 ) ( x ^ { 2 } - 16 )$$

Resolva para x

$$x=-7$$

$$x=4$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 2x+3 por x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x-4 por x+40 e combinar termos semelhantes.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Combine 3x^{2} e x^{2} para obter 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Combine -32x e 36x para obter 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Subtraia 160 de -48 para obter -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 2 por x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 2x-8 por x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Subtraia 2x^{3} de ambos os lados.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Combine 2x^{3} e -2x^{3} para obter 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Adicionar 32x em ambos os lados.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Combine 4x e 32x para obter 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Adicionar 8x^{2} em ambos os lados.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Combine 4x^{2} e 8x^{2} para obter 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Subtraia 128 de ambos os lados.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

Subtraia 128 de -208 para obter -336.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

Divida ambos os lados por 12.

$$3x+x^{2}-28=0$$

Reformule o polinómio para o colocar no formato padrão. Coloque os termos pela ordem da potência mais elevada para a mais baixa.

$$x^{2}+3x-28=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como x^{2}+ax+bx-28. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

A solução é o par que devolve a soma 3.

$$a=-4 b=7$$

Reescreva x^{2}+3x-28 como \left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right)$$

Fator out x no primeiro e 7 no segundo grupo.

$$x\left(x-4\right)+7\left(x-4\right)$$

Decomponha o termo comum x-4 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-4\right)\left(x+7\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-4=0 e x+7=0.

$$x=4 x=-7$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 2x+3 por x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x-4 por x+40 e combinar termos semelhantes.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Combine 3x^{2} e x^{2} para obter 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Combine -32x e 36x para obter 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Subtraia 160 de -48 para obter -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 2 por x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 2x-8 por x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Subtraia 2x^{3} de ambos os lados.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Combine 2x^{3} e -2x^{3} para obter 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Adicionar 32x em ambos os lados.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Combine 4x e 32x para obter 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Adicionar 8x^{2} em ambos os lados.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Combine 4x^{2} e 8x^{2} para obter 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Subtraia 128 de ambos os lados.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

Subtraia 128 de -208 para obter -336.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$12x^{2}+36x-336=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 12 por a, 36 por b e -336 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Calcule o quadrado de 36.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Multiplique -4 vezes 12.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-48\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Multiplique -48 vezes -336.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296+16128}}{2\times 12}$$

Some 1296 com 16128.

$$x=\frac{-36±\sqrt{17424}}{2\times 12}$$

Calcule a raiz quadrada de 17424.

$$x=\frac{-36±132}{2\times 12}$$

Multiplique 2 vezes 12.

$$x=\frac{-36±132}{24}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-36±132}{24} quando ± for uma adição. Some -36 com 132.

$$x=\frac{96}{24}$$

Divida 96 por 24.

$$x=4$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-36±132}{24} quando ± for uma subtração. Subtraia 132 de -36.

$$x=-\frac{168}{24}$$

Divida -168 por 24.

$$x=-7$$

A equação está resolvida.

$$x=4 x=-7$$

Passos Para Completar o Quadrado

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 2x+3 por x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x-4 por x+40 e combinar termos semelhantes.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Combine 3x^{2} e x^{2} para obter 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Combine -32x e 36x para obter 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Subtraia 160 de -48 para obter -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 2 por x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 2x-8 por x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Subtraia 2x^{3} de ambos os lados.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Combine 2x^{3} e -2x^{3} para obter 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Adicionar 32x em ambos os lados.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Combine 4x e 32x para obter 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Adicionar 8x^{2} em ambos os lados.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Combine 4x^{2} e 8x^{2} para obter 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Adicionar 208 em ambos os lados.

$$36x+12x^{2}=128+208$$

Some 128 e 208 para obter 336.

$$36x+12x^{2}=336$$

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+36x=336$$

Divida ambos os lados por 12.

$$\frac{12x^{2}+36x}{12}=\frac{336}{12}$$

Dividir por 12 anula a multiplicação por 12.

$$x^{2}+\frac{36}{12}x=\frac{336}{12}$$

Divida 36 por 12.

$$x^{2}+3x=\frac{336}{12}$$

Divida 336 por 12.

$$x^{2}+3x=28$$

Divida 3, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{3}{2}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{3}{2} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{3}{2}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Some 28 com \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Fatorize x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Simplifique.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Subtraia \frac{3}{2} de ambos os lados da equação.

$$x=4 x=-7$$