Resolver sqrt{x+7}-sqrt{13-x}=2

$$\sqrt { x + 7 } - \sqrt { 13 - x } = 2$$

Resolva para x

$$x=9$$

Passos Para a Resolução

Subtraia -\sqrt{13-x} de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{x+7}=2+\sqrt{13-x}$$

Calcule o quadrado de ambos os lados da equação.

$$\left(\sqrt{x+7}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{x+7} elevado a 2 e obtenha x+7.

$$x+7=\left(2+\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2+\sqrt{13-x}\right)^{2}.

$$x+7=4+4\sqrt{13-x}+\left(\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{13-x} elevado a 2 e obtenha 13-x.

$$x+7=4+4\sqrt{13-x}+13-x$$

Some 4 e 13 para obter 17.

$$x+7=17+4\sqrt{13-x}-x$$

Subtraia 17-x de ambos os lados da equação.

$$x+7-\left(17-x\right)=4\sqrt{13-x}$$

Para calcular o oposto de 17-x, calcule o oposto de cada termo.

$$x+7-17+x=4\sqrt{13-x}$$

Subtraia 17 de 7 para obter -10.

$$x-10+x=4\sqrt{13-x}$$

Combine x e x para obter 2x.

$$2x-10=4\sqrt{13-x}$$

Calcule o quadrado de ambos os lados da equação.

$$\left(2x-10\right)^{2}=\left(4\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(2x-10\right)^{2}.

$$4x^{2}-40x+100=\left(4\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Expanda \left(4\sqrt{13-x}\right)^{2}.

$$4x^{2}-40x+100=4^{2}\left(\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Calcule 4 elevado a 2 e obtenha 16.

$$4x^{2}-40x+100=16\left(\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{13-x} elevado a 2 e obtenha 13-x.

$$4x^{2}-40x+100=16\left(13-x\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 16 por 13-x.

$$4x^{2}-40x+100=208-16x$$

Subtraia 208 de ambos os lados.

$$4x^{2}-40x+100-208=-16x$$

Subtraia 208 de 100 para obter -108.

$$4x^{2}-40x-108=-16x$$

Adicionar 16x em ambos os lados.

$$4x^{2}-40x-108+16x=0$$

Combine -40x e 16x para obter -24x.

$$4x^{2}-24x-108=0$$

Divida ambos os lados por 4.

$$x^{2}-6x-27=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como x^{2}+ax+bx-27. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-6 ab=1\left(-27\right)=-27$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez a+b negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -27.

$$1,-27 3,-9$$

Calcule a soma de cada par.

$$1-27=-26 3-9=-6$$

A solução é o par que devolve a soma -6.

$$a=-9 b=3$$

Reescreva x^{2}-6x-27 como \left(x^{2}-9x\right)+\left(3x-27\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(3x-27\right)$$

Fator out x no primeiro e 3 no segundo grupo.

$$x\left(x-9\right)+3\left(x-9\right)$$

Decomponha o termo comum x-9 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-9\right)\left(x+3\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-9=0 e x+3=0.

$$x=9 x=-3$$

Substitua 9 por x na equação \sqrt{x+7}-\sqrt{13-x}=2.

$$\sqrt{9+7}-\sqrt{13-9}=2$$

Simplifique. O valor x=9 satisfaz a equação.

$$2=2$$

Substitua -3 por x na equação \sqrt{x+7}-\sqrt{13-x}=2.

$$\sqrt{-3+7}-\sqrt{13-\left(-3\right)}=2$$

Simplifique. O valor x=-3 não satisfaz a equação porque o lado esquerdo e o lado direito têm sinais opostos.

$$-2=2$$

Substitua 9 por x na equação \sqrt{x+7}-\sqrt{13-x}=2.

$$\sqrt{9+7}-\sqrt{13-9}=2$$

Simplifique. O valor x=9 satisfaz a equação.

$$2=2$$

A equação \sqrt{x+7}=\sqrt{13-x}+2 tem uma solução única.

$$x=9$$