Resolver sqrt{x+2}=x+1

$$\sqrt { x + 2 } = x + 1$$

Resolva para x

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0,618033989$$

Passos Para a Resolução

Calcule o quadrado de ambos os lados da equação.

$$\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}=\left(x+1\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{x+2} elevado a 2 e obtenha x+2.

$$x+2=\left(x+1\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+1\right)^{2}.

$$x+2=x^{2}+2x+1$$

Subtraia x^{2} de ambos os lados.

$$x+2-x^{2}=2x+1$$

Subtraia 2x de ambos os lados.

$$x+2-x^{2}-2x=1$$

Combine x e -2x para obter -x.

$$-x+2-x^{2}=1$$

Subtraia 1 de ambos os lados.

$$-x+2-x^{2}-1=0$$

Subtraia 1 de 2 para obter 1.

$$-x+1-x^{2}=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$-x^{2}-x+1=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua -1 por a, -1 por b e 1 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique -4 vezes -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

Some 1 com 4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

O oposto de -1 é 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique 2 vezes -1.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{-2}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{1±\sqrt{5}}{-2} quando ± for uma adição. Some 1 com \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{-2}$$

Divida 1+\sqrt{5} por -2.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{1±\sqrt{5}}{-2} quando ± for uma subtração. Subtraia \sqrt{5} de 1.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{-2}$$

Divida 1-\sqrt{5} por -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$

A equação está resolvida.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$

Substitua \frac{-\sqrt{5}-1}{2} por x na equação \sqrt{x+2}=x+1.

$$\sqrt{\frac{-\sqrt{5}-1}{2}+2}=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}+1$$

Simplifique. O valor x=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} não satisfaz a equação porque o lado esquerdo e o lado direito têm sinais opostos.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

Substitua \frac{\sqrt{5}-1}{2} por x na equação \sqrt{x+2}=x+1.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}+2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}+1$$

Simplifique. O valor x=\frac{\sqrt{5}-1}{2} satisfaz a equação.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

A equação \sqrt{x+2}=x+1 tem uma solução única.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$