Resolver sqrt{3x+1}-sqrt{2x-1}=1

$$\sqrt { 3 x + 1 } - \sqrt { 2 x - 1 } = 1$$

Resolva para x

$$x=5$$

$$x=1$$

Passos Para a Resolução

Subtraia -\sqrt{2x-1} de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{3x+1}=1+\sqrt{2x-1}$$

Calcule o quadrado de ambos os lados da equação.

$$\left(\sqrt{3x+1}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{3x+1} elevado a 2 e obtenha 3x+1.

$$3x+1=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}.

$$3x+1=1+2\sqrt{2x-1}+\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{2x-1} elevado a 2 e obtenha 2x-1.

$$3x+1=1+2\sqrt{2x-1}+2x-1$$

Subtraia 1 de 1 para obter 0.

$$3x+1=2\sqrt{2x-1}+2x$$

Subtraia 2x de ambos os lados da equação.

$$3x+1-2x=2\sqrt{2x-1}$$

Combine 3x e -2x para obter x.

$$x+1=2\sqrt{2x-1}$$

Calcule o quadrado de ambos os lados da equação.

$$\left(x+1\right)^{2}=\left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1=\left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Expanda \left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1=2^{2}\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Calcule 2 elevado a 2 e obtenha 4.

$$x^{2}+2x+1=4\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{2x-1} elevado a 2 e obtenha 2x-1.

$$x^{2}+2x+1=4\left(2x-1\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 4 por 2x-1.

$$x^{2}+2x+1=8x-4$$

Subtraia 8x de ambos os lados.

$$x^{2}+2x+1-8x=-4$$

Combine 2x e -8x para obter -6x.

$$x^{2}-6x+1=-4$$

Adicionar 4 em ambos os lados.

$$x^{2}-6x+1+4=0$$

Some 1 e 4 para obter 5.

$$x^{2}-6x+5=0$$

Para resolver a equação, o fator x^{2}-6x+5 utilizando a fórmula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-6 ab=5$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são ambos negativos. O único par é a solução do sistema.

$$a=-5 b=-1$$

Reescreva a expressão \left(x+a\right)\left(x+b\right) fatorizada ao utilizar os valores obtidos.

$$\left(x-5\right)\left(x-1\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-5=0 e x-1=0.

$$x=5 x=1$$

Substitua 5 por x na equação \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x-1}=1.

$$\sqrt{3\times 5+1}-\sqrt{2\times 5-1}=1$$

Simplifique. O valor x=5 satisfaz a equação.

$$1=1$$

Substitua 1 por x na equação \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x-1}=1.

$$\sqrt{3\times 1+1}-\sqrt{2\times 1-1}=1$$

Simplifique. O valor x=1 satisfaz a equação.

$$1=1$$

Listar todas as soluções de \sqrt{3x+1}=\sqrt{2x-1}+1.

$$x=5 x=1$$