Resolver sqrt{(x-2)^2+(y-2)^2}=sqrt{(x-(-2))^2+(y-4)^2}

$$\sqrt { ( x - 2 ) ^ { 2 } + ( y - 2 ) ^ { 2 } } = \sqrt { ( x - ( - 2 ) ) ^ { 2 } + ( y - 4 ) ^ { 2 } }$$

Resolva para x

$$x=\frac{y-3}{2}$$

Passos Para a Resolução

Calcule o quadrado de ambos os lados da equação.

$$\left(\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(y-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+y^{2}-4y+4}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Some 4 e 4 para obter 8.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y} elevado a 2 e obtenha x^{2}-4x+8+y^{2}-4y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

O oposto de -2 é 2.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x+2\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(y-4\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+y^{2}-8y+16}\right)^{2}$$

Some 4 e 16 para obter 20.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y}\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y} elevado a 2 e obtenha x^{2}+4x+20+y^{2}-8y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=x^{2}+4x+20+y^{2}-8y$$

Subtraia x^{2} de ambos os lados.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y-x^{2}=4x+20+y^{2}-8y$$

Combine x^{2} e -x^{2} para obter 0.

$$-4x+8+y^{2}-4y=4x+20+y^{2}-8y$$

Subtraia 4x de ambos os lados.

$$-4x+8+y^{2}-4y-4x=20+y^{2}-8y$$

Combine -4x e -4x para obter -8x.

$$-8x+8+y^{2}-4y=20+y^{2}-8y$$

Subtraia 8 de ambos os lados.

$$-8x+y^{2}-4y=20+y^{2}-8y-8$$

Subtraia 8 de 20 para obter 12.

$$-8x+y^{2}-4y=12+y^{2}-8y$$

Subtraia y^{2} de ambos os lados.

$$-8x-4y=12+y^{2}-8y-y^{2}$$

Combine y^{2} e -y^{2} para obter 0.

$$-8x-4y=12-8y$$

Adicionar 4y em ambos os lados.

$$-8x=12-8y+4y$$

Combine -8y e 4y para obter -4y.

$$-8x=12-4y$$

Divida ambos os lados por -8.

$$\frac{-8x}{-8}=\frac{12-4y}{-8}$$

Dividir por -8 anula a multiplicação por -8.

$$x=\frac{12-4y}{-8}$$

Divida 12-4y por -8.

$$x=\frac{y-3}{2}$$

Substitua \frac{y-3}{2} por x na equação \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(\frac{y-3}{2}-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(\frac{y-3}{2}-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}$$

Simplifique. O valor x=\frac{y-3}{2} satisfaz a equação.

$$\frac{1}{2}\left(65-30y+5y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\left(65-30y+5y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$$

A equação \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(y-4\right)^{2}+\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}} tem uma solução única.

$$x=\frac{y-3}{2}$$

Resolva para y

$$y=2x+3$$

Passos Para a Resolução

Calcule o quadrado de ambos os lados da equação.

$$\left(\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(y-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+y^{2}-4y+4}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Some 4 e 4 para obter 8.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y} elevado a 2 e obtenha x^{2}-4x+8+y^{2}-4y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

O oposto de -2 é 2.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x+2\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(y-4\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+y^{2}-8y+16}\right)^{2}$$

Some 4 e 16 para obter 20.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y}\right)^{2}$$

Calcule \sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y} elevado a 2 e obtenha x^{2}+4x+20+y^{2}-8y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=x^{2}+4x+20+y^{2}-8y$$

Subtraia y^{2} de ambos os lados.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y-y^{2}=x^{2}+4x+20-8y$$

Combine y^{2} e -y^{2} para obter 0.

$$x^{2}-4x+8-4y=x^{2}+4x+20-8y$$

Adicionar 8y em ambos os lados.

$$x^{2}-4x+8-4y+8y=x^{2}+4x+20$$

Combine -4y e 8y para obter 4y.

$$x^{2}-4x+8+4y=x^{2}+4x+20$$

Subtraia x^{2} de ambos os lados.

$$-4x+8+4y=x^{2}+4x+20-x^{2}$$

Combine x^{2} e -x^{2} para obter 0.

$$-4x+8+4y=4x+20$$

Adicionar 4x em ambos os lados.

$$8+4y=4x+20+4x$$

Combine 4x e 4x para obter 8x.

$$8+4y=8x+20$$

Subtraia 8 de ambos os lados.

$$4y=8x+20-8$$

Subtraia 8 de 20 para obter 12.

$$4y=8x+12$$

Divida ambos os lados por 4.

$$\frac{4y}{4}=\frac{8x+12}{4}$$

Dividir por 4 anula a multiplicação por 4.

$$y=\frac{8x+12}{4}$$

Divida 8x+12 por 4.

$$y=2x+3$$

Substitua 2x+3 por y na equação \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(2x+3-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(2x+3-4\right)^{2}}$$

Simplifique. O valor y=2x+3 satisfaz a equação.

$$\left(5+5x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(5+5x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$$

A equação \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(y-4\right)^{2}+\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}} tem uma solução única.

$$y=2x+3$$