Resolver 1/x-3+18/x^2-9=x/x+3

$$\frac{ 1 }{ x-3 } + \frac{ 18 }{ { x }^{ 2 } -9 } = \frac{ x }{ x+3 }$$

Resolva para x

$$x=7$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -3,3, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por \left(x-3\right)\left(x+3\right), o mínimo múltiplo comum de x-3,x^{2}-9,x+3.

$$x+3+18=\left(x-3\right)x$$

Some 3 e 18 para obter 21.

$$x+21=\left(x-3\right)x$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x-3 por x.

$$x+21=x^{2}-3x$$

Subtraia x^{2} de ambos os lados.

$$x+21-x^{2}=-3x$$

Adicionar 3x em ambos os lados.

$$x+21-x^{2}+3x=0$$

Combine x e 3x para obter 4x.

$$4x+21-x^{2}=0$$

Reformule o polinómio para o colocar no formato padrão. Coloque os termos pela ordem da potência mais elevada para a mais baixa.

$$-x^{2}+4x+21=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como -x^{2}+ax+bx+21. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=4 ab=-21=-21$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -21.

$$-1,21 -3,7$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+21=20 -3+7=4$$

A solução é o par que devolve a soma 4.

$$a=7 b=-3$$

Reescreva -x^{2}+4x+21 como \left(-x^{2}+7x\right)+\left(-3x+21\right).

$$\left(-x^{2}+7x\right)+\left(-3x+21\right)$$

Fator out -x no primeiro e -3 no segundo grupo.

$$-x\left(x-7\right)-3\left(x-7\right)$$

Decomponha o termo comum x-7 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-7\right)\left(-x-3\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-7=0 e -x-3=0.

$$x=7 x=-3$$

A variável x não pode de ser igual a -3.

$$x=7$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -3,3, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por \left(x-3\right)\left(x+3\right), o mínimo múltiplo comum de x-3,x^{2}-9,x+3.

$$x+3+18=\left(x-3\right)x$$

Some 3 e 18 para obter 21.

$$x+21=\left(x-3\right)x$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x-3 por x.

$$x+21=x^{2}-3x$$

Subtraia x^{2} de ambos os lados.

$$x+21-x^{2}=-3x$$

Adicionar 3x em ambos os lados.

$$x+21-x^{2}+3x=0$$

Combine x e 3x para obter 4x.

$$4x+21-x^{2}=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$-x^{2}+4x+21=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua -1 por a, 4 por b e 21 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-1\right)\times 21}}{2\left(-1\right)}$$

Calcule o quadrado de 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-1\right)\times 21}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique -4 vezes -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+4\times 21}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique 4 vezes 21.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+84}}{2\left(-1\right)}$$

Some 16 com 84.

$$x=\frac{-4±\sqrt{100}}{2\left(-1\right)}$$

Calcule a raiz quadrada de 100.

$$x=\frac{-4±10}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique 2 vezes -1.

$$x=\frac{-4±10}{-2}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-4±10}{-2} quando ± for uma adição. Some -4 com 10.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Divida 6 por -2.

$$x=-3$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-4±10}{-2} quando ± for uma subtração. Subtraia 10 de -4.

$$x=-\frac{14}{-2}$$

Divida -14 por -2.

$$x=7$$

A equação está resolvida.

$$x=-3 x=7$$

A variável x não pode de ser igual a -3.

$$x=7$$

Passos Para Completar o Quadrado

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -3,3, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por \left(x-3\right)\left(x+3\right), o mínimo múltiplo comum de x-3,x^{2}-9,x+3.

$$x+3+18=\left(x-3\right)x$$

Some 3 e 18 para obter 21.

$$x+21=\left(x-3\right)x$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x-3 por x.

$$x+21=x^{2}-3x$$

Subtraia x^{2} de ambos os lados.

$$x+21-x^{2}=-3x$$

Adicionar 3x em ambos os lados.

$$x+21-x^{2}+3x=0$$

Combine x e 3x para obter 4x.

$$4x+21-x^{2}=0$$

Subtraia 21 de ambos os lados. Um valor subtraído de zero dá a respetiva negação.

$$4x-x^{2}=-21$$

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+4x=-21$$

Divida ambos os lados por -1.

$$\frac{-x^{2}+4x}{-1}=-\frac{21}{-1}$$

Dividir por -1 anula a multiplicação por -1.

$$x^{2}+\frac{4}{-1}x=-\frac{21}{-1}$$

Divida 4 por -1.

$$x^{2}-4x=-\frac{21}{-1}$$

Divida -21 por -1.

$$x^{2}-4x=21$$

Divida -4, o coeficiente do termo x, 2 para obter -2. Em seguida, adicione o quadrado de -2 para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=21+\left(-2\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -2.

$$x^{2}-4x+4=21+4$$

Some 21 com 4.

$$x^{2}-4x+4=25$$

Fatorize x^{2}-4x+4. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=25$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Simplifique.

$$x-2=5 x-2=-5$$

Some 2 a ambos os lados da equação.

$$x=7 x=-3$$

A variável x não pode de ser igual a -3.

$$x=7$$