Resolver x^3-1/(x-1)^2-x^3+1/(x+1)^2=6

$$\frac { x ^ { 3 } - 1 } { ( x - 1 ) ^ { 2 } } - \frac { x ^ { 3 } + 1 } { ( x + 1 ) ^ { 2 } } = 6$$

Resolva para x

$$x=2$$

$$x=-2$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -1,1, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por \left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}, o mínimo múltiplo comum de \left(x-1\right)^{2},\left(x+1\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}\left(x^{3}-1\right)-\left(x-1\right)^{2}\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+1\right)^{2}.

$$\left(x^{2}+2x+1\right)\left(x^{3}-1\right)-\left(x-1\right)^{2}\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x^{2}+2x+1 por x^{3}-1.

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-\left(x-1\right)^{2}\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x^{2}-2x+1 por x^{3}+1.

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-\left(x^{5}+x^{2}-2x^{4}-2x+x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Para calcular o oposto de x^{5}+x^{2}-2x^{4}-2x+x^{3}+1, calcule o oposto de cada termo.

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-x^{5}-x^{2}+2x^{4}+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Combine x^{5} e -x^{5} para obter 0.

$$-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-x^{2}+2x^{4}+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Combine -x^{2} e -x^{2} para obter -2x^{2}.

$$-2x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1+2x^{4}+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Combine 2x^{4} e 2x^{4} para obter 4x^{4}.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2x+x^{3}-1+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Combine -2x e 2x para obter 0.

$$-2x^{2}+4x^{4}+x^{3}-1-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Combine x^{3} e -x^{3} para obter 0.

$$-2x^{2}+4x^{4}-1-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Subtraia 1 de -1 para obter -2.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-1\right)^{2}.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x+1\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+1\right)^{2}.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x^{2}+2x+1\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 6 por x^{2}-2x+1.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=\left(6x^{2}-12x+6\right)\left(x^{2}+2x+1\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 6x^{2}-12x+6 por x^{2}+2x+1 e combinar termos semelhantes.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6x^{4}-12x^{2}+6$$

Subtraia 6x^{4} de ambos os lados.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2-6x^{4}=-12x^{2}+6$$

Combine 4x^{4} e -6x^{4} para obter -2x^{4}.

$$-2x^{2}-2x^{4}-2=-12x^{2}+6$$

Adicionar 12x^{2} em ambos os lados.

$$-2x^{2}-2x^{4}-2+12x^{2}=6$$

Combine -2x^{2} e 12x^{2} para obter 10x^{2}.

$$10x^{2}-2x^{4}-2=6$$

Subtraia 6 de ambos os lados.

$$10x^{2}-2x^{4}-2-6=0$$

Subtraia 6 de -2 para obter -8.

$$10x^{2}-2x^{4}-8=0$$

Substitua t por x^{2}.

$$-2t^{2}+10t-8=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substitua -2 por a, 10 por b e -8 por c na fórmula quadrática.

$$t=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-2\right)\left(-8\right)}}{-2\times 2}$$

Efetue os cálculos.

$$t=\frac{-10±6}{-4}$$

Resolva a equação t=\frac{-10±6}{-4} quando ± é mais e quando ± é menos.

$$t=1 t=4$$

Uma vez que x=t^{2}, as soluções são obtidas através da avaliação de x=±\sqrt{t} para cada t.

$$x=1 x=-1 x=2 x=-2$$

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores 1,-1.

$$x=-2 x=2$$