Resolver x^2+5/25-x^2=3/x+5+x/x-5

$$\frac { x ^ { 2 } + 5 } { 25 - x ^ { 2 } } = \frac { 3 } { x + 5 } + \frac { x } { x - 5 }$$

Resolva para x

$$x=1$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -5,5, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por \left(x-5\right)\left(x+5\right), o mínimo múltiplo comum de 25-x^{2},x+5,x-5.

$$-\left(x^{2}+5\right)=\left(x-5\right)\times 3+\left(x+5\right)x$$

Para calcular o oposto de x^{2}+5, calcule o oposto de cada termo.

$$-x^{2}-5=\left(x-5\right)\times 3+\left(x+5\right)x$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x-5 por 3.

$$-x^{2}-5=3x-15+\left(x+5\right)x$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x+5 por x.

$$-x^{2}-5=3x-15+x^{2}+5x$$

Combine 3x e 5x para obter 8x.

$$-x^{2}-5=8x-15+x^{2}$$

Subtraia 8x de ambos os lados.

$$-x^{2}-5-8x=-15+x^{2}$$

Subtraia -15 de ambos os lados.

$$-x^{2}-5-8x-\left(-15\right)=x^{2}$$

O oposto de -15 é 15.

$$-x^{2}-5-8x+15=x^{2}$$

Subtraia x^{2} de ambos os lados.

$$-x^{2}-5-8x+15-x^{2}=0$$

Some -5 e 15 para obter 10.

$$-x^{2}+10-8x-x^{2}=0$$

Combine -x^{2} e -x^{2} para obter -2x^{2}.

$$-2x^{2}+10-8x=0$$

Divida ambos os lados por 2.

$$-x^{2}+5-4x=0$$

Reformule o polinómio para o colocar no formato padrão. Coloque os termos pela ordem da potência mais elevada para a mais baixa.

$$-x^{2}-4x+5=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como -x^{2}+ax+bx+5. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-4 ab=-5=-5$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez a+b negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. O único par é a solução do sistema.

$$a=1 b=-5$$

Reescreva -x^{2}-4x+5 como \left(-x^{2}+x\right)+\left(-5x+5\right).

$$\left(-x^{2}+x\right)+\left(-5x+5\right)$$

Fator out x no primeiro e 5 no segundo grupo.

$$x\left(-x+1\right)+5\left(-x+1\right)$$

Decomponha o termo comum -x+1 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(-x+1\right)\left(x+5\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva -x+1=0 e x+5=0.

$$x=1 x=-5$$

A variável x não pode de ser igual a -5.

$$x=1$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -5,5, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por \left(x-5\right)\left(x+5\right), o mínimo múltiplo comum de 25-x^{2},x+5,x-5.

$$-\left(x^{2}+5\right)=\left(x-5\right)\times 3+\left(x+5\right)x$$

Para calcular o oposto de x^{2}+5, calcule o oposto de cada termo.

$$-x^{2}-5=\left(x-5\right)\times 3+\left(x+5\right)x$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x-5 por 3.

$$-x^{2}-5=3x-15+\left(x+5\right)x$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x+5 por x.

$$-x^{2}-5=3x-15+x^{2}+5x$$

Combine 3x e 5x para obter 8x.

$$-x^{2}-5=8x-15+x^{2}$$

Subtraia 8x de ambos os lados.

$$-x^{2}-5-8x=-15+x^{2}$$

Subtraia -15 de ambos os lados.

$$-x^{2}-5-8x-\left(-15\right)=x^{2}$$

O oposto de -15 é 15.

$$-x^{2}-5-8x+15=x^{2}$$

Subtraia x^{2} de ambos os lados.

$$-x^{2}-5-8x+15-x^{2}=0$$

Some -5 e 15 para obter 10.

$$-x^{2}+10-8x-x^{2}=0$$

Combine -x^{2} e -x^{2} para obter -2x^{2}.

$$-2x^{2}+10-8x=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$-2x^{2}-8x+10=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua -2 por a, -8 por b e 10 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\left(-2\right)\times 10}}{2\left(-2\right)}$$

Calcule o quadrado de -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\left(-2\right)\times 10}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplique -4 vezes -2.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+8\times 10}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplique 8 vezes 10.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+80}}{2\left(-2\right)}$$

Some 64 com 80.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{144}}{2\left(-2\right)}$$

Calcule a raiz quadrada de 144.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±12}{2\left(-2\right)}$$

O oposto de -8 é 8.

$$x=\frac{8±12}{2\left(-2\right)}$$

Multiplique 2 vezes -2.

$$x=\frac{8±12}{-4}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{8±12}{-4} quando ± for uma adição. Some 8 com 12.

$$x=\frac{20}{-4}$$

Divida 20 por -4.

$$x=-5$$

Agora, resolva a equação x=\frac{8±12}{-4} quando ± for uma subtração. Subtraia 12 de 8.

$$x=-\frac{4}{-4}$$

Divida -4 por -4.

$$x=1$$

A equação está resolvida.

$$x=-5 x=1$$

A variável x não pode de ser igual a -5.

$$x=1$$

Passos Para Completar o Quadrado

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -5,5, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por \left(x-5\right)\left(x+5\right), o mínimo múltiplo comum de 25-x^{2},x+5,x-5.

$$-\left(x^{2}+5\right)=\left(x-5\right)\times 3+\left(x+5\right)x$$

Para calcular o oposto de x^{2}+5, calcule o oposto de cada termo.

$$-x^{2}-5=\left(x-5\right)\times 3+\left(x+5\right)x$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x-5 por 3.

$$-x^{2}-5=3x-15+\left(x+5\right)x$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x+5 por x.

$$-x^{2}-5=3x-15+x^{2}+5x$$

Combine 3x e 5x para obter 8x.

$$-x^{2}-5=8x-15+x^{2}$$

Subtraia 8x de ambos os lados.

$$-x^{2}-5-8x=-15+x^{2}$$

Subtraia x^{2} de ambos os lados.

$$-x^{2}-5-8x-x^{2}=-15$$

Combine -x^{2} e -x^{2} para obter -2x^{2}.

$$-2x^{2}-5-8x=-15$$

Adicionar 5 em ambos os lados.

$$-2x^{2}-8x=-15+5$$

Some -15 e 5 para obter -10.

$$-2x^{2}-8x=-10$$

Divida ambos os lados por -2.

$$\frac{-2x^{2}-8x}{-2}=-\frac{10}{-2}$$

Dividir por -2 anula a multiplicação por -2.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{-2}\right)x=-\frac{10}{-2}$$

Divida -8 por -2.

$$x^{2}+4x=-\frac{10}{-2}$$

Divida -10 por -2.

$$x^{2}+4x=5$$

Divida 4, o coeficiente do termo x, 2 para obter 2. Em seguida, adicione o quadrado de 2 para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+4x+2^{2}=5+2^{2}$$

Calcule o quadrado de 2.

$$x^{2}+4x+4=5+4$$

Some 5 com 4.

$$x^{2}+4x+4=9$$

Fatorize x^{2}+4x+4. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+2\right)^{2}=9$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Simplifique.

$$x+2=3 x+2=-3$$

Subtraia 2 de ambos os lados da equação.

$$x=1 x=-5$$

A variável x não pode de ser igual a -5.

$$x=1$$