Resolver x+1/x+x/x+1=5/2

$$\frac { x + 1 } { x } + \frac { x } { x + 1 } = \frac { 5 } { 2 }$$

Resolva para x

$$x=1$$

$$x=-2$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -1,0, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por 2x\left(x+1\right), o mínimo múltiplo comum de x,x+1,2.

$$\left(2x+2\right)\left(x+1\right)+2xx=5x\left(x+1\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 2x+2 por x+1 e combinar termos semelhantes.

$$2x^{2}+4x+2+2xx=5x\left(x+1\right)$$

Multiplique x e x para obter x^{2}.

$$2x^{2}+4x+2+2x^{2}=5x\left(x+1\right)$$

Combine 2x^{2} e 2x^{2} para obter 4x^{2}.

$$4x^{2}+4x+2=5x\left(x+1\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 5x por x+1.

$$4x^{2}+4x+2=5x^{2}+5x$$

Subtraia 5x^{2} de ambos os lados.

$$4x^{2}+4x+2-5x^{2}=5x$$

Combine 4x^{2} e -5x^{2} para obter -x^{2}.

$$-x^{2}+4x+2=5x$$

Subtraia 5x de ambos os lados.

$$-x^{2}+4x+2-5x=0$$

Combine 4x e -5x para obter -x.

$$-x^{2}-x+2=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como -x^{2}+ax+bx+2. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-1 ab=-2=-2$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez a+b negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. O único par é a solução do sistema.

$$a=1 b=-2$$

Reescreva -x^{2}-x+2 como \left(-x^{2}+x\right)+\left(-2x+2\right).

$$\left(-x^{2}+x\right)+\left(-2x+2\right)$$

Fator out x no primeiro e 2 no segundo grupo.

$$x\left(-x+1\right)+2\left(-x+1\right)$$

Decomponha o termo comum -x+1 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(-x+1\right)\left(x+2\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva -x+1=0 e x+2=0.

$$x=1 x=-2$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -1,0, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por 2x\left(x+1\right), o mínimo múltiplo comum de x,x+1,2.

$$\left(2x+2\right)\left(x+1\right)+2xx=5x\left(x+1\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 2x+2 por x+1 e combinar termos semelhantes.

$$2x^{2}+4x+2+2xx=5x\left(x+1\right)$$

Multiplique x e x para obter x^{2}.

$$2x^{2}+4x+2+2x^{2}=5x\left(x+1\right)$$

Combine 2x^{2} e 2x^{2} para obter 4x^{2}.

$$4x^{2}+4x+2=5x\left(x+1\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 5x por x+1.

$$4x^{2}+4x+2=5x^{2}+5x$$

Subtraia 5x^{2} de ambos os lados.

$$4x^{2}+4x+2-5x^{2}=5x$$

Combine 4x^{2} e -5x^{2} para obter -x^{2}.

$$-x^{2}+4x+2=5x$$

Subtraia 5x de ambos os lados.

$$-x^{2}+4x+2-5x=0$$

Combine 4x e -5x para obter -x.

$$-x^{2}-x+2=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua -1 por a, -1 por b e 2 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique -4 vezes -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique 4 vezes 2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+8}}{2\left(-1\right)}$$

Some 1 com 8.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{9}}{2\left(-1\right)}$$

Calcule a raiz quadrada de 9.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±3}{2\left(-1\right)}$$

O oposto de -1 é 1.

$$x=\frac{1±3}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique 2 vezes -1.

$$x=\frac{1±3}{-2}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{1±3}{-2} quando ± for uma adição. Some 1 com 3.

$$x=\frac{4}{-2}$$

Divida 4 por -2.

$$x=-2$$

Agora, resolva a equação x=\frac{1±3}{-2} quando ± for uma subtração. Subtraia 3 de 1.

$$x=-\frac{2}{-2}$$

Divida -2 por -2.

$$x=1$$

A equação está resolvida.

$$x=-2 x=1$$

Passos Para Completar o Quadrado

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -1,0, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por 2x\left(x+1\right), o mínimo múltiplo comum de x,x+1,2.

$$\left(2x+2\right)\left(x+1\right)+2xx=5x\left(x+1\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 2x+2 por x+1 e combinar termos semelhantes.

$$2x^{2}+4x+2+2xx=5x\left(x+1\right)$$

Multiplique x e x para obter x^{2}.

$$2x^{2}+4x+2+2x^{2}=5x\left(x+1\right)$$

Combine 2x^{2} e 2x^{2} para obter 4x^{2}.

$$4x^{2}+4x+2=5x\left(x+1\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 5x por x+1.

$$4x^{2}+4x+2=5x^{2}+5x$$

Subtraia 5x^{2} de ambos os lados.

$$4x^{2}+4x+2-5x^{2}=5x$$

Combine 4x^{2} e -5x^{2} para obter -x^{2}.

$$-x^{2}+4x+2=5x$$

Subtraia 5x de ambos os lados.

$$-x^{2}+4x+2-5x=0$$

Combine 4x e -5x para obter -x.

$$-x^{2}-x+2=0$$

Subtraia 2 de ambos os lados. Um valor subtraído de zero dá a respetiva negação.

$$-x^{2}-x=-2$$

Divida ambos os lados por -1.

$$\frac{-x^{2}-x}{-1}=-\frac{2}{-1}$$

Dividir por -1 anula a multiplicação por -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-1}\right)x=-\frac{2}{-1}$$

Divida -1 por -1.

$$x^{2}+x=-\frac{2}{-1}$$

Divida -2 por -1.

$$x^{2}+x=2$$

Divida 1, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{1}{2}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{1}{2} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{1}{2}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

Some 2 com \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Fatorize x^{2}+x+\frac{1}{4}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Simplifique.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{3}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Subtraia \frac{1}{2} de ambos os lados da equação.

$$x=1 x=-2$$