Resolver v/v^2+17v+72-8/v^2+15v+56

$$\frac { v } { v ^ { 2 } + 17 v + 72 } - \frac { 8 } { v ^ { 2 } + 15 v + 56 }$$

Avaliar

$$\frac{v-9}{\left(v+7\right)\left(v+9\right)}$$

Passos Rápidos de Resolução

Fatorize a expressão v^{2}+17v+72. Fatorize a expressão v^{2}+15v+56.

$$\frac{v}{\left(v+8\right)\left(v+9\right)}-\frac{8}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)}$$

Para adicionar ou subtrair expressões, expanda-as para que os denominadores sejam iguais. O mínimo múltiplo comum de \left(v+8\right)\left(v+9\right) e \left(v+7\right)\left(v+8\right) é \left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right). Multiplique \frac{v}{\left(v+8\right)\left(v+9\right)} vezes \frac{v+7}{v+7}. Multiplique \frac{8}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)} vezes \frac{v+9}{v+9}.

$$\frac{v\left(v+7\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)}-\frac{8\left(v+9\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)}$$

Uma vez que \frac{v\left(v+7\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)} e \frac{8\left(v+9\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)} têm o mesmo denominador, subtraia-os ao subtrair os respetivos numeradores.

$$\frac{v\left(v+7\right)-8\left(v+9\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)}$$

Efetue as multiplicações em v\left(v+7\right)-8\left(v+9\right).

$$\frac{v^{2}+7v-8v-72}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)}$$

Combine termos semelhantes em v^{2}+7v-8v-72.

$$\frac{v^{2}-v-72}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)}$$

Fatorize as expressões que ainda não foram fatorizadas em \frac{v^{2}-v-72}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)}.

$$\frac{\left(v-9\right)\left(v+8\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)}$$

Anule v+8 no numerador e no denominador.

$$\frac{v-9}{\left(v+7\right)\left(v+9\right)}$$

Expanda \left(v+7\right)\left(v+9\right).

$$\frac{v-9}{v^{2}+16v+63}$$

Calcular a diferenciação com respeito a v

$$\frac{207+18v-v^{2}}{v^{4}+32v^{3}+382v^{2}+2016v+3969}$$

Passos Para Utilizar a Regra Derivada de Quociente

Fatorize a expressão v^{2}+17v+72. Fatorize a expressão v^{2}+15v+56.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v}{\left(v+8\right)\left(v+9\right)}-\frac{8}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)})$$

Para adicionar ou subtrair expressões, expanda-as para que os denominadores sejam iguais. O mínimo múltiplo comum de \left(v+8\right)\left(v+9\right) e \left(v+7\right)\left(v+8\right) é \left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right). Multiplique \frac{v}{\left(v+8\right)\left(v+9\right)} vezes \frac{v+7}{v+7}. Multiplique \frac{8}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)} vezes \frac{v+9}{v+9}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v\left(v+7\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)}-\frac{8\left(v+9\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)})$$

Uma vez que \frac{v\left(v+7\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)} e \frac{8\left(v+9\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)} têm o mesmo denominador, subtraia-os ao subtrair os respetivos numeradores.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v\left(v+7\right)-8\left(v+9\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)})$$

Efetue as multiplicações em v\left(v+7\right)-8\left(v+9\right).

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v^{2}+7v-8v-72}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)})$$

Combine termos semelhantes em v^{2}+7v-8v-72.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v^{2}-v-72}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)})$$

Fatorize as expressões que ainda não foram fatorizadas em \frac{v^{2}-v-72}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{\left(v-9\right)\left(v+8\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)})$$

Anule v+8 no numerador e no denominador.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v-9}{\left(v+7\right)\left(v+9\right)})$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar v+7 por v+9 e combinar termos semelhantes.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v-9}{v^{2}+16v+63})$$

Para quaisquer duas funções diferenciáveis, a derivada do quociente de duas funções é igual ao denominador vezes a derivada do numerador menos o numerador vezes a derivada do denominador, todos divididos pelo denominador ao quadrado.

$$\frac{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(v^{1}-9)-\left(v^{1}-9\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(v^{2}+16v^{1}+63)}{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)^{2}}$$

A derivada de um polinómio é a soma das derivadas dos seus termos. A derivada de qualquer termo constante é 0. A derivada de ax^{n} é nax^{n-1}.

$$\frac{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)v^{1-1}-\left(v^{1}-9\right)\left(2v^{2-1}+16v^{1-1}\right)}{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)^{2}}$$

Simplifique.

$$\frac{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)v^{0}-\left(v^{1}-9\right)\left(2v^{1}+16v^{0}\right)}{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)^{2}}$$

Multiplique v^{2}+16v^{1}+63 vezes v^{0}.

$$\frac{v^{2}v^{0}+16v^{1}v^{0}+63v^{0}-\left(v^{1}-9\right)\left(2v^{1}+16v^{0}\right)}{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)^{2}}$$

Multiplique v^{1}-9 vezes 2v^{1}+16v^{0}.

$$\frac{v^{2}v^{0}+16v^{1}v^{0}+63v^{0}-\left(v^{1}\times 2v^{1}+v^{1}\times 16v^{0}-9\times 2v^{1}-9\times 16v^{0}\right)}{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)^{2}}$$

Para multiplicar potências com a mesma base, some os exponentes.

$$\frac{v^{2}+16v^{1}+63v^{0}-\left(2v^{1+1}+16v^{1}-9\times 2v^{1}-9\times 16v^{0}\right)}{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)^{2}}$$

Simplifique.

$$\frac{v^{2}+16v^{1}+63v^{0}-\left(2v^{2}+16v^{1}-18v^{1}-144v^{0}\right)}{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)^{2}}$$

Combine termos semelhantes.

$$\frac{-v^{2}+18v^{1}+207v^{0}}{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)^{2}}$$

Para qualquer termo t, t^{1}=t.

$$\frac{-v^{2}+18v+207v^{0}}{\left(v^{2}+16v+63\right)^{2}}$$

Para qualquer termo t , exceto 0, t^{0}=1.

$$\frac{-v^{2}+18v+207\times 1}{\left(v^{2}+16v+63\right)^{2}}$$

Para qualquer termo t, t\times 1=t e 1t=t.

$$\frac{-v^{2}+18v+207}{\left(v^{2}+16v+63\right)^{2}}$$