Resolver 7/3n=2n+8/3n^2+1/6

$$\frac { 7 } { 3 n } = \frac { 2 n + 8 } { 3 n ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 6 }$$

Resolva para n

$$n=2$$

$$n=8$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

A variável n não pode ser igual a 0, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por 6n^{2}, o mínimo múltiplo comum de 3n,3n^{2},6.

$$2n\times 7=2\left(2n+8\right)+6n^{2}\times \frac{1}{6}$$

Multiplique 2 e 7 para obter 14.

$$14n=2\left(2n+8\right)+6n^{2}\times \frac{1}{6}$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 2 por 2n+8.

$$14n=4n+16+6n^{2}\times \frac{1}{6}$$

Multiplique 6 e \frac{1}{6} para obter 1.

$$14n=4n+16+n^{2}$$

Subtraia 4n de ambos os lados.

$$14n-4n=16+n^{2}$$

Combine 14n e -4n para obter 10n.

$$10n=16+n^{2}$$

Subtraia 16 de ambos os lados.

$$10n-16=n^{2}$$

Subtraia n^{2} de ambos os lados.

$$10n-16-n^{2}=0$$

Reformule o polinómio para o colocar no formato padrão. Coloque os termos pela ordem da potência mais elevada para a mais baixa.

$$-n^{2}+10n-16=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como -n^{2}+an+bn-16. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=10 ab=-\left(-16\right)=16$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é positivo, a e b são ambos positivos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 16.

$$1,16 2,8 4,4$$

Calcule a soma de cada par.

$$1+16=17 2+8=10 4+4=8$$

A solução é o par que devolve a soma 10.

$$a=8 b=2$$

Reescreva -n^{2}+10n-16 como \left(-n^{2}+8n\right)+\left(2n-16\right).

$$\left(-n^{2}+8n\right)+\left(2n-16\right)$$

Fator out -n no primeiro e 2 no segundo grupo.

$$-n\left(n-8\right)+2\left(n-8\right)$$

Decomponha o termo comum n-8 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(n-8\right)\left(-n+2\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva n-8=0 e -n+2=0.

$$n=8 n=2$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

A variável n não pode ser igual a 0, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por 6n^{2}, o mínimo múltiplo comum de 3n,3n^{2},6.

$$2n\times 7=2\left(2n+8\right)+6n^{2}\times \frac{1}{6}$$

Multiplique 2 e 7 para obter 14.

$$14n=2\left(2n+8\right)+6n^{2}\times \frac{1}{6}$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 2 por 2n+8.

$$14n=4n+16+6n^{2}\times \frac{1}{6}$$

Multiplique 6 e \frac{1}{6} para obter 1.

$$14n=4n+16+n^{2}$$

Subtraia 4n de ambos os lados.

$$14n-4n=16+n^{2}$$

Combine 14n e -4n para obter 10n.

$$10n=16+n^{2}$$

Subtraia 16 de ambos os lados.

$$10n-16=n^{2}$$

Subtraia n^{2} de ambos os lados.

$$10n-16-n^{2}=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$-n^{2}+10n-16=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua -1 por a, 10 por b e -16 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-1\right)\left(-16\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Calcule o quadrado de 10.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-1\right)\left(-16\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique -4 vezes -1.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100+4\left(-16\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique 4 vezes -16.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-64}}{2\left(-1\right)}$$

Some 100 com -64.

$$n=\frac{-10±\sqrt{36}}{2\left(-1\right)}$$

Calcule a raiz quadrada de 36.

$$n=\frac{-10±6}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique 2 vezes -1.

$$n=\frac{-10±6}{-2}$$

Agora, resolva a equação n=\frac{-10±6}{-2} quando ± for uma adição. Some -10 com 6.

$$n=-\frac{4}{-2}$$

Divida -4 por -2.

$$n=2$$

Agora, resolva a equação n=\frac{-10±6}{-2} quando ± for uma subtração. Subtraia 6 de -10.

$$n=-\frac{16}{-2}$$

Divida -16 por -2.

$$n=8$$

A equação está resolvida.

$$n=2 n=8$$

Passos Para Completar o Quadrado

A variável n não pode ser igual a 0, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por 6n^{2}, o mínimo múltiplo comum de 3n,3n^{2},6.

$$2n\times 7=2\left(2n+8\right)+6n^{2}\times \frac{1}{6}$$

Multiplique 2 e 7 para obter 14.

$$14n=2\left(2n+8\right)+6n^{2}\times \frac{1}{6}$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 2 por 2n+8.

$$14n=4n+16+6n^{2}\times \frac{1}{6}$$

Multiplique 6 e \frac{1}{6} para obter 1.

$$14n=4n+16+n^{2}$$

Subtraia 4n de ambos os lados.

$$14n-4n=16+n^{2}$$

Combine 14n e -4n para obter 10n.

$$10n=16+n^{2}$$

Subtraia n^{2} de ambos os lados.

$$10n-n^{2}=16$$

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$-n^{2}+10n=16$$

Divida ambos os lados por -1.

$$\frac{-n^{2}+10n}{-1}=\frac{16}{-1}$$

Dividir por -1 anula a multiplicação por -1.

$$n^{2}+\frac{10}{-1}n=\frac{16}{-1}$$

Divida 10 por -1.

$$n^{2}-10n=\frac{16}{-1}$$

Divida 16 por -1.

$$n^{2}-10n=-16$$

Divida -10, o coeficiente do termo x, 2 para obter -5. Em seguida, adicione o quadrado de -5 para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$n^{2}-10n+\left(-5\right)^{2}=-16+\left(-5\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -5.

$$n^{2}-10n+25=-16+25$$

Some -16 com 25.

$$n^{2}-10n+25=9$$

Fatorize n^{2}-10n+25. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-5\right)^{2}=9$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(n-5\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Simplifique.

$$n-5=3 n-5=-3$$

Some 5 a ambos os lados da equação.

$$n=8 n=2$$