Resolver frac{21sqrt{15}}{512+5sqrt{3}}

$$\frac { 21 \sqrt { 15 } } { 512 + 5 \sqrt { 3 } }$$

Avaliar

$$\frac{10752\sqrt{15}-315\sqrt{5}}{262069}\approx 0,156210599$$

Passos Para a Resolução

Racionalize o denominador de \frac{21\sqrt{15}}{512+5\sqrt{3}} ao multiplicar o numerador e o denominador por 512-5\sqrt{3}.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{\left(512+5\sqrt{3}\right)\left(512-5\sqrt{3}\right)}$$

Considere \left(512+5\sqrt{3}\right)\left(512-5\sqrt{3}\right). A multiplicação pode ser transformada na diferença dos quadrados através da regra: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{512^{2}-\left(5\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Calcule 512 elevado a 2 e obtenha 262144.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{262144-\left(5\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Expanda \left(5\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{262144-5^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Calcule 5 elevado a 2 e obtenha 25.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{262144-25\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

O quadrado de \sqrt{3} é 3.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{262144-25\times 3}$$

Multiplique 25 e 3 para obter 75.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{262144-75}$$

Subtraia 75 de 262144 para obter 262069.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{262069}$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 21\sqrt{15} por 512-5\sqrt{3}.

$$\frac{10752\sqrt{15}-105\sqrt{3}\sqrt{15}}{262069}$$

Fatorize a expressão 15=3\times 5. Reescreva a raiz quadrada do produto \sqrt{3\times 5} à medida que o produto das raízes quadradas \sqrt{3}\sqrt{5}.

$$\frac{10752\sqrt{15}-105\sqrt{3}\sqrt{3}\sqrt{5}}{262069}$$

Multiplique \sqrt{3} e \sqrt{3} para obter 3.

$$\frac{10752\sqrt{15}-105\times 3\sqrt{5}}{262069}$$

Multiplique -105 e 3 para obter -315.

$$\frac{10752\sqrt{15}-315\sqrt{5}}{262069}$$