Resolver 2/x+15/x+6=1

$$\frac { 2 } { x } + \frac { 15 } { x + 6 } = 1$$

Resolva para x

$$x=-1$$

$$x=12$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -6,0, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por x\left(x+6\right), o mínimo múltiplo comum de x,x+6.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x+6 por 2.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Combine 2x e x\times 15 para obter 17x.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x por x+6.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

Subtraia x^{2} de ambos os lados.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

Subtraia 6x de ambos os lados.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

Combine 17x e -6x para obter 11x.

$$11x+12-x^{2}=0$$

Reformule o polinómio para o colocar no formato padrão. Coloque os termos pela ordem da potência mais elevada para a mais baixa.

$$-x^{2}+11x+12=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como -x^{2}+ax+bx+12. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=11 ab=-12=-12$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

A solução é o par que devolve a soma 11.

$$a=12 b=-1$$

Reescreva -x^{2}+11x+12 como \left(-x^{2}+12x\right)+\left(-x+12\right).

$$\left(-x^{2}+12x\right)+\left(-x+12\right)$$

Fator out -x no primeiro e -1 no segundo grupo.

$$-x\left(x-12\right)-\left(x-12\right)$$

Decomponha o termo comum x-12 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-12\right)\left(-x-1\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-12=0 e -x-1=0.

$$x=12 x=-1$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -6,0, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por x\left(x+6\right), o mínimo múltiplo comum de x,x+6.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x+6 por 2.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Combine 2x e x\times 15 para obter 17x.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x por x+6.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

Subtraia x^{2} de ambos os lados.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

Subtraia 6x de ambos os lados.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

Combine 17x e -6x para obter 11x.

$$11x+12-x^{2}=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$-x^{2}+11x+12=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua -1 por a, 11 por b e 12 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-1\right)\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Calcule o quadrado de 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-1\right)\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique -4 vezes -1.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+4\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique 4 vezes 12.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\left(-1\right)}$$

Some 121 com 48.

$$x=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\left(-1\right)}$$

Calcule a raiz quadrada de 169.

$$x=\frac{-11±13}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique 2 vezes -1.

$$x=\frac{-11±13}{-2}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-11±13}{-2} quando ± for uma adição. Some -11 com 13.

$$x=\frac{2}{-2}$$

Divida 2 por -2.

$$x=-1$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-11±13}{-2} quando ± for uma subtração. Subtraia 13 de -11.

$$x=-\frac{24}{-2}$$

Divida -24 por -2.

$$x=12$$

A equação está resolvida.

$$x=-1 x=12$$

Passos Para Completar o Quadrado

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -6,0, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por x\left(x+6\right), o mínimo múltiplo comum de x,x+6.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x+6 por 2.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Combine 2x e x\times 15 para obter 17x.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x por x+6.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

Subtraia x^{2} de ambos os lados.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

Subtraia 6x de ambos os lados.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

Combine 17x e -6x para obter 11x.

$$11x+12-x^{2}=0$$

Subtraia 12 de ambos os lados. Um valor subtraído de zero dá a respetiva negação.

$$11x-x^{2}=-12$$

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+11x=-12$$

Divida ambos os lados por -1.

$$\frac{-x^{2}+11x}{-1}=-\frac{12}{-1}$$

Dividir por -1 anula a multiplicação por -1.

$$x^{2}+\frac{11}{-1}x=-\frac{12}{-1}$$

Divida 11 por -1.

$$x^{2}-11x=-\frac{12}{-1}$$

Divida -12 por -1.

$$x^{2}-11x=12$$

Divida -11, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{11}{2}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{11}{2} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=12+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{11}{2}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=12+\frac{121}{4}$$

Some 12 com \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{169}{4}$$

Fatorize x^{2}-11x+\frac{121}{4}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Simplifique.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{13}{2}$$

Some \frac{11}{2} a ambos os lados da equação.

$$x=12 x=-1$$