Resolver 16k^2+24k^4/(2k^2+1)^2=20/9

$$\frac { 16 k ^ { 2 } + 24 k ^ { 4 } } { ( 2 k ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } } = \frac { 20 } { 9 }$$

Resolva para k

$$k=-\frac{\sqrt{102\sqrt{26}-272}}{34}\approx -0,463270298$$

$$k=\frac{\sqrt{102\sqrt{26}-272}}{34}\approx 0,463270298$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Multiplicar ambos os lados da equação por 9\left(2k^{2}+1\right)^{2}, o mínimo múltiplo comum de \left(2k^{2}+1\right)^{2},9.

$$9\left(16k^{2}+24k^{4}\right)=20\left(2k^{2}+1\right)^{2}$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 9 por 16k^{2}+24k^{4}.

$$144k^{2}+216k^{4}=20\left(2k^{2}+1\right)^{2}$$

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(2k^{2}+1\right)^{2}.

$$144k^{2}+216k^{4}=20\left(4\left(k^{2}\right)^{2}+4k^{2}+1\right)$$

Para aumentar uma potência para outra potência, multiplique os expoentes. Multiplique 2 e 2 para obter 4.

$$144k^{2}+216k^{4}=20\left(4k^{4}+4k^{2}+1\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 20 por 4k^{4}+4k^{2}+1.

$$144k^{2}+216k^{4}=80k^{4}+80k^{2}+20$$

Subtraia 80k^{4} de ambos os lados.

$$144k^{2}+216k^{4}-80k^{4}=80k^{2}+20$$

Combine 216k^{4} e -80k^{4} para obter 136k^{4}.

$$144k^{2}+136k^{4}=80k^{2}+20$$

Subtraia 80k^{2} de ambos os lados.

$$144k^{2}+136k^{4}-80k^{2}=20$$

Combine 144k^{2} e -80k^{2} para obter 64k^{2}.

$$64k^{2}+136k^{4}=20$$

Subtraia 20 de ambos os lados.

$$64k^{2}+136k^{4}-20=0$$

Substitua t por k^{2}.

$$136t^{2}+64t-20=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substitua 136 por a, 64 por b e -20 por c na fórmula quadrática.

$$t=\frac{-64±\sqrt{64^{2}-4\times 136\left(-20\right)}}{2\times 136}$$

Efetue os cálculos.

$$t=\frac{-64±24\sqrt{26}}{272}$$

Resolva a equação t=\frac{-64±24\sqrt{26}}{272} quando ± é mais e quando ± é menos.

$$t=\frac{3\sqrt{26}}{34}-\frac{4}{17} t=-\frac{3\sqrt{26}}{34}-\frac{4}{17}$$

Desde k=t^{2}, as soluções são obtidas avaliando k=±\sqrt{t} para t positivos.

$$k=\frac{\sqrt{\frac{6\sqrt{26}-16}{17}}}{2} k=-\frac{\sqrt{\frac{6\sqrt{26}-16}{17}}}{2}$$