Resolver 1500/x-1500/x+250=1/2

$$\frac { 1500 } { x } - \frac { 1500 } { x + 250 } = \frac { 1 } { 2 }$$

Resolva para x

$$x=-1000$$

$$x=750$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -250,0, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por 2x\left(x+250\right), o mínimo múltiplo comum de x,x+250,2.

$$\left(2x+500\right)\times 1500-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 2x+500 por 1500.

$$3000x+750000-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Multiplique 2 e 1500 para obter 3000.

$$3000x+750000-3000x=x\left(x+250\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x por x+250.

$$3000x+750000-3000x=x^{2}+250x$$

Subtraia x^{2} de ambos os lados.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}=250x$$

Subtraia 250x de ambos os lados.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}-250x=0$$

Combine 3000x e -250x para obter 2750x.

$$2750x+750000-3000x-x^{2}=0$$

Combine 2750x e -3000x para obter -250x.

$$-250x+750000-x^{2}=0$$

Reformule o polinómio para o colocar no formato padrão. Coloque os termos pela ordem da potência mais elevada para a mais baixa.

$$-x^{2}-250x+750000=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como -x^{2}+ax+bx+750000. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-250 ab=-750000=-750000$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez a+b negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -750000.

$$1,-750000 2,-375000 3,-250000 4,-187500 5,-150000 6,-125000 8,-93750 10,-75000 12,-62500 15,-50000 16,-46875 20,-37500 24,-31250 25,-30000 30,-25000 40,-18750 48,-15625 50,-15000 60,-12500 75,-10000 80,-9375 100,-7500 120,-6250 125,-6000 150,-5000 200,-3750 240,-3125 250,-3000 300,-2500 375,-2000 400,-1875 500,-1500 600,-1250 625,-1200 750,-1000$$

Calcule a soma de cada par.

$$1-750000=-749999 2-375000=-374998 3-250000=-249997 4-187500=-187496 5-150000=-149995 6-125000=-124994 8-93750=-93742 10-75000=-74990 12-62500=-62488 15-50000=-49985 16-46875=-46859 20-37500=-37480 24-31250=-31226 25-30000=-29975 30-25000=-24970 40-18750=-18710 48-15625=-15577 50-15000=-14950 60-12500=-12440 75-10000=-9925 80-9375=-9295 100-7500=-7400 120-6250=-6130 125-6000=-5875 150-5000=-4850 200-3750=-3550 240-3125=-2885 250-3000=-2750 300-2500=-2200 375-2000=-1625 400-1875=-1475 500-1500=-1000 600-1250=-650 625-1200=-575 750-1000=-250$$

A solução é o par que devolve a soma 250.

$$a=-750 b=1000$$

Reescreva -x^{2}-250x+750000 como \left(-x^{2}-750x\right)+\left(1000x+750000\right).

$$\left(-x^{2}-750x\right)+\left(1000x+750000\right)$$

Fator out x no primeiro e 1000 no segundo grupo.

$$x\left(x-750\right)+1000\left(x-750\right)$$

Decomponha o termo comum x-750 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-750\right)\left(x+1000\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-750=0 e x+1000=0.

$$x=750 x=-1000$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -250,0, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por 2x\left(x+250\right), o mínimo múltiplo comum de x,x+250,2.

$$\left(2x+500\right)\times 1500-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 2x+500 por 1500.

$$3000x+750000-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Multiplique 2 e 1500 para obter 3000.

$$3000x+750000-3000x=x\left(x+250\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x por x+250.

$$3000x+750000-3000x=x^{2}+250x$$

Subtraia x^{2} de ambos os lados.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}=250x$$

Subtraia 250x de ambos os lados.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}-250x=0$$

Combine 3000x e -250x para obter 2750x.

$$2750x+750000-3000x-x^{2}=0$$

Combine 2750x e -3000x para obter -250x.

$$-250x+750000-x^{2}=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$-x^{2}-250x+750000=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua -1 por a, -250 por b e 750000 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{\left(-250\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 750000}}{2\left(-1\right)}$$

Calcule o quadrado de -250.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{62500-4\left(-1\right)\times 750000}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique -4 vezes -1.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{62500+4\times 750000}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique 4 vezes 750000.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{62500+3000000}}{2\left(-1\right)}$$

Some 62500 com 3000000.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{3062500}}{2\left(-1\right)}$$

Calcule a raiz quadrada de 3062500.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±1750}{2\left(-1\right)}$$

O oposto de -250 é 250.

$$x=\frac{250±1750}{2\left(-1\right)}$$

Multiplique 2 vezes -1.

$$x=\frac{250±1750}{-2}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{250±1750}{-2} quando ± for uma adição. Some 250 com 1750.

$$x=\frac{2000}{-2}$$

Divida 2000 por -2.

$$x=-1000$$

Agora, resolva a equação x=\frac{250±1750}{-2} quando ± for uma subtração. Subtraia 1750 de 250.

$$x=-\frac{1500}{-2}$$

Divida -1500 por -2.

$$x=750$$

A equação está resolvida.

$$x=-1000 x=750$$

Passos Para Completar o Quadrado

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores -250,0, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por 2x\left(x+250\right), o mínimo múltiplo comum de x,x+250,2.

$$\left(2x+500\right)\times 1500-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 2x+500 por 1500.

$$3000x+750000-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Multiplique 2 e 1500 para obter 3000.

$$3000x+750000-3000x=x\left(x+250\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar x por x+250.

$$3000x+750000-3000x=x^{2}+250x$$

Subtraia x^{2} de ambos os lados.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}=250x$$

Subtraia 250x de ambos os lados.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}-250x=0$$

Combine 3000x e -250x para obter 2750x.

$$2750x+750000-3000x-x^{2}=0$$

Subtraia 750000 de ambos os lados. Um valor subtraído de zero dá a respetiva negação.

$$2750x-3000x-x^{2}=-750000$$

Combine 2750x e -3000x para obter -250x.

$$-250x-x^{2}=-750000$$

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-250x=-750000$$

Divida ambos os lados por -1.

$$\frac{-x^{2}-250x}{-1}=-\frac{750000}{-1}$$

Dividir por -1 anula a multiplicação por -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{250}{-1}\right)x=-\frac{750000}{-1}$$

Divida -250 por -1.

$$x^{2}+250x=-\frac{750000}{-1}$$

Divida -750000 por -1.

$$x^{2}+250x=750000$$

Divida 250, o coeficiente do termo x, 2 para obter 125. Em seguida, adicione o quadrado de 125 para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+250x+125^{2}=750000+125^{2}$$

Calcule o quadrado de 125.

$$x^{2}+250x+15625=750000+15625$$

Some 750000 com 15625.

$$x^{2}+250x+15625=765625$$

Fatorize x^{2}+250x+15625. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+125\right)^{2}=765625$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+125\right)^{2}}=\sqrt{765625}$$

Simplifique.

$$x+125=875 x+125=-875$$

Subtraia 125 de ambos os lados da equação.

$$x=750 x=-1000$$