Resolver 1/a-10a/10-a=1/10

$$\frac { 1 } { a } - \frac { 10 a } { 10 - a } = \frac { 1 } { 10 }$$

Resolva para a

$$a = -\frac{10}{9} = -1\frac{1}{9} \approx -1,111111111$$

$$a=\frac{10}{11}\approx 0,909090909$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

A variável a não pode ser igual a nenhum dos valores 0,10, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por 10a\left(a-10\right), o mínimo múltiplo comum de a,10-a,10.

$$10a-100-\left(-10a\times 10a\right)=a\left(a-10\right)$$

Multiplique a e a para obter a^{2}.

$$10a-100-\left(-10a^{2}\times 10\right)=a\left(a-10\right)$$

Multiplique -10 e 10 para obter -100.

$$10a-100-\left(-100a^{2}\right)=a\left(a-10\right)$$

O oposto de -100a^{2} é 100a^{2}.

$$10a-100+100a^{2}=a\left(a-10\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar a por a-10.

$$10a-100+100a^{2}=a^{2}-10a$$

Subtraia a^{2} de ambos os lados.

$$10a-100+100a^{2}-a^{2}=-10a$$

Combine 100a^{2} e -a^{2} para obter 99a^{2}.

$$10a-100+99a^{2}=-10a$$

Adicionar 10a em ambos os lados.

$$10a-100+99a^{2}+10a=0$$

Combine 10a e 10a para obter 20a.

$$20a-100+99a^{2}=0$$

Reformule o polinómio para o colocar no formato padrão. Coloque os termos pela ordem da potência mais elevada para a mais baixa.

$$99a^{2}+20a-100=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 99a^{2}+aa+ba-100. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=20 ab=99\left(-100\right)=-9900$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -9900.

$$-1,9900 -2,4950 -3,3300 -4,2475 -5,1980 -6,1650 -9,1100 -10,990 -11,900 -12,825 -15,660 -18,550 -20,495 -22,450 -25,396 -30,330 -33,300 -36,275 -44,225 -45,220 -50,198 -55,180 -60,165 -66,150 -75,132 -90,110 -99,100$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+9900=9899 -2+4950=4948 -3+3300=3297 -4+2475=2471 -5+1980=1975 -6+1650=1644 -9+1100=1091 -10+990=980 -11+900=889 -12+825=813 -15+660=645 -18+550=532 -20+495=475 -22+450=428 -25+396=371 -30+330=300 -33+300=267 -36+275=239 -44+225=181 -45+220=175 -50+198=148 -55+180=125 -60+165=105 -66+150=84 -75+132=57 -90+110=20 -99+100=1$$

A solução é o par que devolve a soma 20.

$$a=-90 b=110$$

Reescreva 99a^{2}+20a-100 como \left(99a^{2}-90a\right)+\left(110a-100\right).

$$\left(99a^{2}-90a\right)+\left(110a-100\right)$$

Fator out 9a no primeiro e 10 no segundo grupo.

$$9a\left(11a-10\right)+10\left(11a-10\right)$$

Decomponha o termo comum 11a-10 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(11a-10\right)\left(9a+10\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva 11a-10=0 e 9a+10=0.

$$a=\frac{10}{11} a=-\frac{10}{9}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

A variável a não pode ser igual a nenhum dos valores 0,10, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por 10a\left(a-10\right), o mínimo múltiplo comum de a,10-a,10.

$$10a-100-\left(-10a\times 10a\right)=a\left(a-10\right)$$

Multiplique a e a para obter a^{2}.

$$10a-100-\left(-10a^{2}\times 10\right)=a\left(a-10\right)$$

Multiplique -10 e 10 para obter -100.

$$10a-100-\left(-100a^{2}\right)=a\left(a-10\right)$$

O oposto de -100a^{2} é 100a^{2}.

$$10a-100+100a^{2}=a\left(a-10\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar a por a-10.

$$10a-100+100a^{2}=a^{2}-10a$$

Subtraia a^{2} de ambos os lados.

$$10a-100+100a^{2}-a^{2}=-10a$$

Combine 100a^{2} e -a^{2} para obter 99a^{2}.

$$10a-100+99a^{2}=-10a$$

Adicionar 10a em ambos os lados.

$$10a-100+99a^{2}+10a=0$$

Combine 10a e 10a para obter 20a.

$$20a-100+99a^{2}=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$99a^{2}+20a-100=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 99 por a, 20 por b e -100 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 99\left(-100\right)}}{2\times 99}$$

Calcule o quadrado de 20.

$$a=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 99\left(-100\right)}}{2\times 99}$$

Multiplique -4 vezes 99.

$$a=\frac{-20±\sqrt{400-396\left(-100\right)}}{2\times 99}$$

Multiplique -396 vezes -100.

$$a=\frac{-20±\sqrt{400+39600}}{2\times 99}$$

Some 400 com 39600.

$$a=\frac{-20±\sqrt{40000}}{2\times 99}$$

Calcule a raiz quadrada de 40000.

$$a=\frac{-20±200}{2\times 99}$$

Multiplique 2 vezes 99.

$$a=\frac{-20±200}{198}$$

Agora, resolva a equação a=\frac{-20±200}{198} quando ± for uma adição. Some -20 com 200.

$$a=\frac{180}{198}$$

Reduza a fração \frac{180}{198} para os termos mais baixos ao retirar e anular 18.

$$a=\frac{10}{11}$$

Agora, resolva a equação a=\frac{-20±200}{198} quando ± for uma subtração. Subtraia 200 de -20.

$$a=-\frac{220}{198}$$

Reduza a fração \frac{-220}{198} para os termos mais baixos ao retirar e anular 22.

$$a=-\frac{10}{9}$$

A equação está resolvida.

$$a=\frac{10}{11} a=-\frac{10}{9}$$

Passos Para Completar o Quadrado

A variável a não pode ser igual a nenhum dos valores 0,10, pois a divisão por zero não está definida. Multiplicar ambos os lados da equação por 10a\left(a-10\right), o mínimo múltiplo comum de a,10-a,10.

$$10a-100-\left(-10a\times 10a\right)=a\left(a-10\right)$$

Multiplique a e a para obter a^{2}.

$$10a-100-\left(-10a^{2}\times 10\right)=a\left(a-10\right)$$

Multiplique -10 e 10 para obter -100.

$$10a-100-\left(-100a^{2}\right)=a\left(a-10\right)$$

O oposto de -100a^{2} é 100a^{2}.

$$10a-100+100a^{2}=a\left(a-10\right)$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar a por a-10.

$$10a-100+100a^{2}=a^{2}-10a$$

Subtraia a^{2} de ambos os lados.

$$10a-100+100a^{2}-a^{2}=-10a$$

Combine 100a^{2} e -a^{2} para obter 99a^{2}.

$$10a-100+99a^{2}=-10a$$

Adicionar 10a em ambos os lados.

$$10a-100+99a^{2}+10a=0$$

Combine 10a e 10a para obter 20a.

$$20a-100+99a^{2}=0$$

Adicionar 100 em ambos os lados. Qualquer valor mais zero dá o valor inicial.

$$20a+99a^{2}=100$$

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$99a^{2}+20a=100$$

Divida ambos os lados por 99.

$$\frac{99a^{2}+20a}{99}=\frac{100}{99}$$

Dividir por 99 anula a multiplicação por 99.

$$a^{2}+\frac{20}{99}a=\frac{100}{99}$$

Divida \frac{20}{99}, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{10}{99}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{10}{99} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$a^{2}+\frac{20}{99}a+\left(\frac{10}{99}\right)^{2}=\frac{100}{99}+\left(\frac{10}{99}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{10}{99}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$a^{2}+\frac{20}{99}a+\frac{100}{9801}=\frac{100}{99}+\frac{100}{9801}$$

Some \frac{100}{99} com \frac{100}{9801} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$a^{2}+\frac{20}{99}a+\frac{100}{9801}=\frac{10000}{9801}$$

Fatorize a^{2}+\frac{20}{99}a+\frac{100}{9801}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a+\frac{10}{99}\right)^{2}=\frac{10000}{9801}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(a+\frac{10}{99}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{10000}{9801}}$$

Simplifique.

$$a+\frac{10}{99}=\frac{100}{99} a+\frac{10}{99}=-\frac{100}{99}$$

Subtraia \frac{10}{99} de ambos os lados da equação.

$$a=\frac{10}{11} a=-\frac{10}{9}$$