Rozwiąż y=x+5;quady=3-x

$$y = x + 5 ; \quad y = 3 - x$$

Rozwiąż względem y, x

$$x=-1$$

$$y=4$$

Kroki z użyciem podstawiania

Uwzględnij pierwsze równanie. Odejmij x od obu stron.

$$y-x=5$$

Uwzględnij drugie równanie. Dodaj x do obu stron.

$$y+x=3$$

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$y-x=5,y+x=3$$

Wybierz jedno z równań i Rozwiąż je dla y, izolując y po lewej stronie znaku równości.

$$y-x=5$$

Dodaj x do obu stron równania.

$$y=x+5$$

Podstaw x+5 do y w drugim równaniu: y+x=3.

$$x+5+x=3$$

Dodaj x do x.

$$2x+5=3$$

Odejmij 5 od obu stron równania.

$$2x=-2$$

Podziel obie strony przez 2.

$$x=-1$$

Podstaw -1 do x w równaniu y=x+5. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem y.

$$y=-1+5$$

Dodaj 5 do -1.

$$y=4$$

System jest teraz rozwiązany.

$$y=4,x=-1$$

Kroki z użyciem macierzy

Uwzględnij pierwsze równanie. Odejmij x od obu stron.

$$y-x=5$$

Uwzględnij drugie równanie. Dodaj x do obu stron.

$$y+x=3$$

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$y-x=5,y+x=3$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze po lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

W przypadku macierzy 2\times 2\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), dlatego równanie macierzy może być ponownie zapisane jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy y i x.

$$y=4,x=-1$$

Kroki z użyciem eliminacji

Uwzględnij pierwsze równanie. Odejmij x od obu stron.

$$y-x=5$$

Uwzględnij drugie równanie. Dodaj x do obu stron.

$$y+x=3$$

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$y-x=5,y+x=3$$

Odejmij y+x=3 od y-x=5, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$y-y-x-x=5-3$$

Dodaj y do -y. Czynniki y i -y skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$-x-x=5-3$$

Dodaj -x do -x.

$$-2x=5-3$$

Dodaj 5 do -3.

$$-2x=2$$

Podziel obie strony przez -2.

$$x=-1$$

Podstaw -1 do x w równaniu y+x=3. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem y.

$$y-1=3$$

Dodaj 1 do obu stron równania.

$$y=4$$

System jest teraz rozwiązany.

$$y=4,x=-1$$