Rozwiąż 9x^2+7x+9=25

$$9 x ^ { 2 } + 7 x + 9 = 25$$

Rozwiąż względem x

$$x = -\frac{16}{9} = -1\frac{7}{9} \approx -1,777777778$$

$$x=1$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Odejmij 25 od obu stron.

$$9x^{2}+7x+9-25=0$$

Odejmij 25 od 9, aby uzyskać -16.

$$9x^{2}+7x-16=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 9x^{2}+ax+bx-16. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=7 ab=9\left(-16\right)=-144$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest dodatnie, liczba dodatnia ma większą wartość bezwzględną niż ujemna. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -144.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 7.

$$a=-9 b=16$$

Przepisz 9x^{2}+7x-16 jako \left(9x^{2}-9x\right)+\left(16x-16\right).

$$\left(9x^{2}-9x\right)+\left(16x-16\right)$$

9x w pierwszej i 16 w drugiej grupie.

$$9x\left(x-1\right)+16\left(x-1\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik x-1, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(x-1\right)\left(9x+16\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-1=0 i 9x+16=0.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$9x^{2}+7x+9=25$$

Odejmij 25 od obu stron równania.

$$9x^{2}+7x+9-25=25-25$$

Odjęcie 25 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$9x^{2}+7x+9-25=0$$

Odejmij 25 od 9.

$$9x^{2}+7x-16=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 9 do a, 7 do b i -16 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Podnieś do kwadratu 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Pomnóż -4 przez 9.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-36\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Pomnóż -36 przez -16.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+576}}{2\times 9}$$

Dodaj 49 do 576.

$$x=\frac{-7±\sqrt{625}}{2\times 9}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 625.

$$x=\frac{-7±25}{2\times 9}$$

Pomnóż 2 przez 9.

$$x=\frac{-7±25}{18}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-7±25}{18} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -7 do 25.

$$x=\frac{18}{18}$$

Podziel 18 przez 18.

$$x=1$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-7±25}{18} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 25 od -7.

$$x=-\frac{32}{18}$$

Zredukuj ułamek \frac{-32}{18} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 2.

$$x=-\frac{16}{9}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+7x+9=25$$

Odejmij 9 od obu stron równania.

$$9x^{2}+7x+9-9=25-9$$

Odjęcie 9 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$9x^{2}+7x=25-9$$

Odejmij 9 od 25.

$$9x^{2}+7x=16$$

Podziel obie strony przez 9.

$$\frac{9x^{2}+7x}{9}=\frac{16}{9}$$

Dzielenie przez 9 cofa mnożenie przez 9.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x=\frac{16}{9}$$

Podziel \frac{7}{9}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać \frac{7}{18}. Następnie Dodaj kwadrat \frac{7}{18} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{16}{9}+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu \frac{7}{18}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{16}{9}+\frac{49}{324}$$

Dodaj \frac{16}{9} do \frac{49}{324}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{625}{324}$$

Współczynnik x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{625}{324}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{324}}$$

Uprość.

$$x+\frac{7}{18}=\frac{25}{18} x+\frac{7}{18}=-\frac{25}{18}$$

Odejmij \frac{7}{18} od obu stron równania.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$