Rozwiąż 7x^2-32x-15=0

$$7 x ^ { 2 } - 32 x - 15 = 0$$

Rozwiąż względem x

$$x=-\frac{3}{7}\approx -0,428571429$$

$$x=5$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 7x^{2}+ax+bx-15. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-32 ab=7\left(-15\right)=-105$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest ujemne, liczba ujemna ma większą wartość bezwzględną niż dodatnia. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -105.

$$1,-105 3,-35 5,-21 7,-15$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1-105=-104 3-35=-32 5-21=-16 7-15=-8$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -32.

$$a=-35 b=3$$

Przepisz 7x^{2}-32x-15 jako \left(7x^{2}-35x\right)+\left(3x-15\right).

$$\left(7x^{2}-35x\right)+\left(3x-15\right)$$

7x w pierwszej i 3 w drugiej grupie.

$$7x\left(x-5\right)+3\left(x-5\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik x-5, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(x-5\right)\left(7x+3\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-5=0 i 7x+3=0.

$$x=5 x=-\frac{3}{7}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$7x^{2}-32x-15=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 7 do a, -32 do b i -15 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 7\left(-15\right)}}{2\times 7}$$

Podnieś do kwadratu -32.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 7\left(-15\right)}}{2\times 7}$$

Pomnóż -4 przez 7.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-28\left(-15\right)}}{2\times 7}$$

Pomnóż -28 przez -15.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024+420}}{2\times 7}$$

Dodaj 1024 do 420.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1444}}{2\times 7}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 1444.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±38}{2\times 7}$$

Liczba przeciwna do -32 to 32.

$$x=\frac{32±38}{2\times 7}$$

Pomnóż 2 przez 7.

$$x=\frac{32±38}{14}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{32±38}{14} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 32 do 38.

$$x=\frac{70}{14}$$

Podziel 70 przez 14.

$$x=5$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{32±38}{14} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 38 od 32.

$$x=-\frac{6}{14}$$

Zredukuj ułamek \frac{-6}{14} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 2.

$$x=-\frac{3}{7}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=5 x=-\frac{3}{7}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-32x-15=0$$

Dodaj 15 do obu stron równania.

$$7x^{2}-32x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Odjęcie -15 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$7x^{2}-32x=-\left(-15\right)$$

Odejmij -15 od 0.

$$7x^{2}-32x=15$$

Podziel obie strony przez 7.

$$\frac{7x^{2}-32x}{7}=\frac{15}{7}$$

Dzielenie przez 7 cofa mnożenie przez 7.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x=\frac{15}{7}$$

Podziel -\frac{32}{7}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać -\frac{16}{7}. Następnie Dodaj kwadrat -\frac{16}{7} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}=\frac{15}{7}+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{16}{7}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x+\frac{256}{49}=\frac{15}{7}+\frac{256}{49}$$

Dodaj \frac{15}{7} do \frac{256}{49}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x+\frac{256}{49}=\frac{361}{49}$$

Współczynnik x^{2}-\frac{32}{7}x+\frac{256}{49}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{16}{7}\right)^{2}=\frac{361}{49}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{49}}$$

Uprość.

$$x-\frac{16}{7}=\frac{19}{7} x-\frac{16}{7}=-\frac{19}{7}$$

Dodaj \frac{16}{7} do obu stron równania.

$$x=5 x=-\frac{3}{7}$$