Rozwiąż 7x+y=25text{dan}x-7y=25

$$7 x + y = 25 \text { dan } x - 7 y = 25$$

Rozwiąż względem x, y

$$x=4$$

$$y=-3$$

Kroki z użyciem podstawiania

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$7x+y=25,x-7y=25$$

Wybierz jedno z równań i Rozwiąż je dla x, izolując x po lewej stronie znaku równości.

$$7x+y=25$$

Odejmij y od obu stron równania.

$$7x=-y+25$$

Podziel obie strony przez 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-y+25\right)$$

Pomnóż \frac{1}{7} przez -y+25.

$$x=-\frac{1}{7}y+\frac{25}{7}$$

Podstaw \frac{-y+25}{7} do x w drugim równaniu: x-7y=25.

$$-\frac{1}{7}y+\frac{25}{7}-7y=25$$

Dodaj -\frac{y}{7} do -7y.

$$-\frac{50}{7}y+\frac{25}{7}=25$$

Odejmij \frac{25}{7} od obu stron równania.

$$-\frac{50}{7}y=\frac{150}{7}$$

Podziel obie strony równania przez -\frac{50}{7}, co jest równoważne pomnożeniu obu stron przez odwrotność ułamka.

$$y=-3$$

Podstaw -3 do y w równaniu x=-\frac{1}{7}y+\frac{25}{7}. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=-\frac{1}{7}\left(-3\right)+\frac{25}{7}$$

Pomnóż -\frac{1}{7} przez -3.

$$x=\frac{3+25}{7}$$

Dodaj \frac{25}{7} do \frac{3}{7}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x=4$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=4,y=-3$$

Kroki z użyciem macierzy

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$7x+y=25,x-7y=25$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}7&1\\1&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\25\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}7&1\\1&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&1\\1&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\25\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\25\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze po lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&1\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\25\end{matrix}\right)$$

W przypadku macierzy 2\times 2\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), dlatego równanie macierzy może być ponownie zapisane jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{7\left(-7\right)-1}&-\frac{1}{7\left(-7\right)-1}\\-\frac{1}{7\left(-7\right)-1}&\frac{7}{7\left(-7\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\25\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{50}&\frac{1}{50}\\\frac{1}{50}&-\frac{7}{50}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\25\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{50}\times 25+\frac{1}{50}\times 25\\\frac{1}{50}\times 25-\frac{7}{50}\times 25\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=4,y=-3$$

Kroki z użyciem eliminacji

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$7x+y=25,x-7y=25$$

Aby czynniki 7x i x były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez 1 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 7.

$$7x+y=25,7x+7\left(-7\right)y=7\times 25$$

Uprość.

$$7x+y=25,7x-49y=175$$

Odejmij 7x-49y=175 od 7x+y=25, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$7x-7x+y+49y=25-175$$

Dodaj 7x do -7x. Czynniki 7x i -7x skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$y+49y=25-175$$

Dodaj y do 49y.

$$50y=25-175$$

Dodaj 25 do -175.

$$50y=-150$$

Podziel obie strony przez 50.

$$y=-3$$

Podstaw -3 do y w równaniu x-7y=25. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x-7\left(-3\right)=25$$

Pomnóż -7 przez -3.

$$x+21=25$$

Odejmij 21 od obu stron równania.

$$x=4$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=4,y=-3$$