Rozwiąż 6x^2-x=40

$$6 x ^ { 2 } - x = 40$$

Rozwiąż względem x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2,666666667$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Odejmij 40 od obu stron.

$$6x^{2}-x-40=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 6x^{2}+ax+bx-40. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-1 ab=6\left(-40\right)=-240$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest ujemne, liczba ujemna ma większą wartość bezwzględną niż dodatnia. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -240.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -1.

$$a=-16 b=15$$

Przepisz 6x^{2}-x-40 jako \left(6x^{2}-16x\right)+\left(15x-40\right).

$$\left(6x^{2}-16x\right)+\left(15x-40\right)$$

2x w pierwszej i 5 w drugiej grupie.

$$2x\left(3x-8\right)+5\left(3x-8\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 3x-8, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(3x-8\right)\left(2x+5\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: 3x-8=0 i 2x+5=0.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{5}{2}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$6x^{2}-x=40$$

Odejmij 40 od obu stron równania.

$$6x^{2}-x-40=40-40$$

Odjęcie 40 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$6x^{2}-x-40=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 6 do a, -1 do b i -40 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 6\left(-40\right)}}{2\times 6}$$

Pomnóż -4 przez 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-24\left(-40\right)}}{2\times 6}$$

Pomnóż -24 przez -40.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+960}}{2\times 6}$$

Dodaj 1 do 960.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{961}}{2\times 6}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 961.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±31}{2\times 6}$$

Liczba przeciwna do -1 to 1.

$$x=\frac{1±31}{2\times 6}$$

Pomnóż 2 przez 6.

$$x=\frac{1±31}{12}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{1±31}{12} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 1 do 31.

$$x=\frac{32}{12}$$

Zredukuj ułamek \frac{32}{12} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 4.

$$x=\frac{8}{3}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{1±31}{12} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 31 od 1.

$$x=-\frac{30}{12}$$

Zredukuj ułamek \frac{-30}{12} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 6.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{5}{2}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-x=40$$

Podziel obie strony przez 6.

$$\frac{6x^{2}-x}{6}=\frac{40}{6}$$

Dzielenie przez 6 cofa mnożenie przez 6.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{40}{6}$$

Zredukuj ułamek \frac{40}{6} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 2.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{20}{3}$$

Podziel -\frac{1}{6}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać -\frac{1}{12}. Następnie Dodaj kwadrat -\frac{1}{12} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{20}{3}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{1}{12}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{20}{3}+\frac{1}{144}$$

Dodaj \frac{20}{3} do \frac{1}{144}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{961}{144}$$

Współczynnik x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{961}{144}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{961}{144}}$$

Uprość.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{31}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{31}{12}$$

Dodaj \frac{1}{12} do obu stron równania.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{5}{2}$$