Rozwiąż 420=-16t^2+180t

$$420 = - 16 t ^ { 2 } + 180 t$$

Rozwiąż względem t

$$t = \frac{\sqrt{345} + 45}{8} \approx 7,946771953$$

$$t = \frac{45 - \sqrt{345}}{8} \approx 3,303228047$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Zamień strony, aby wszystkie czynniki zmienne występowały po lewej stronie.

$$-16t^{2}+180t=420$$

Odejmij 420 od obu stron.

$$-16t^{2}+180t-420=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw -16 do a, 180 do b i -420 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-180±\sqrt{180^{2}-4\left(-16\right)\left(-420\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Podnieś do kwadratu 180.

$$t=\frac{-180±\sqrt{32400-4\left(-16\right)\left(-420\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Pomnóż -4 przez -16.

$$t=\frac{-180±\sqrt{32400+64\left(-420\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Pomnóż 64 przez -420.

$$t=\frac{-180±\sqrt{32400-26880}}{2\left(-16\right)}$$

Dodaj 32400 do -26880.

$$t=\frac{-180±\sqrt{5520}}{2\left(-16\right)}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 5520.

$$t=\frac{-180±4\sqrt{345}}{2\left(-16\right)}$$

Pomnóż 2 przez -16.

$$t=\frac{-180±4\sqrt{345}}{-32}$$

Teraz rozwiąż równanie t=\frac{-180±4\sqrt{345}}{-32} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -180 do 4\sqrt{345}.

$$t=\frac{4\sqrt{345}-180}{-32}$$

Podziel -180+4\sqrt{345} przez -32.

$$t=\frac{45-\sqrt{345}}{8}$$

Teraz rozwiąż równanie t=\frac{-180±4\sqrt{345}}{-32} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 4\sqrt{345} od -180.

$$t=\frac{-4\sqrt{345}-180}{-32}$$

Podziel -180-4\sqrt{345} przez -32.

$$t=\frac{\sqrt{345}+45}{8}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$t=\frac{45-\sqrt{345}}{8} t=\frac{\sqrt{345}+45}{8}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Zamień strony, aby wszystkie czynniki zmienne występowały po lewej stronie.

$$-16t^{2}+180t=420$$

Podziel obie strony przez -16.

$$\frac{-16t^{2}+180t}{-16}=\frac{420}{-16}$$

Dzielenie przez -16 cofa mnożenie przez -16.

$$t^{2}+\frac{180}{-16}t=\frac{420}{-16}$$

Zredukuj ułamek \frac{180}{-16} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 4.

$$t^{2}-\frac{45}{4}t=\frac{420}{-16}$$

Zredukuj ułamek \frac{420}{-16} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 4.

$$t^{2}-\frac{45}{4}t=-\frac{105}{4}$$

Podziel -\frac{45}{4}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać -\frac{45}{8}. Następnie Dodaj kwadrat -\frac{45}{8} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$t^{2}-\frac{45}{4}t+\left(-\frac{45}{8}\right)^{2}=-\frac{105}{4}+\left(-\frac{45}{8}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{45}{8}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$t^{2}-\frac{45}{4}t+\frac{2025}{64}=-\frac{105}{4}+\frac{2025}{64}$$

Dodaj -\frac{105}{4} do \frac{2025}{64}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$t^{2}-\frac{45}{4}t+\frac{2025}{64}=\frac{345}{64}$$

Współczynnik t^{2}-\frac{45}{4}t+\frac{2025}{64}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{45}{8}\right)^{2}=\frac{345}{64}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(t-\frac{45}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{345}{64}}$$

Uprość.

$$t-\frac{45}{8}=\frac{\sqrt{345}}{8} t-\frac{45}{8}=-\frac{\sqrt{345}}{8}$$

Dodaj \frac{45}{8} do obu stron równania.

$$t=\frac{\sqrt{345}+45}{8} t=\frac{45-\sqrt{345}}{8}$$