Rozwiąż 4x-3y=2text{and}x+5y=-11

$$4 x - 3 y = 2 \text { and } x + 5 y = - 11$$

Rozwiąż względem x, y

$$x=-1$$

$$y=-2$$

Kroki z użyciem podstawiania

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Wybierz jedno z równań i Rozwiąż je dla x, izolując x po lewej stronie znaku równości.

$$4x-3y=2$$

Dodaj 3y do obu stron równania.

$$4x=3y+2$$

Podziel obie strony przez 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+2\right)$$

Pomnóż \frac{1}{4} przez 3y+2.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}$$

Podstaw \frac{3y}{4}+\frac{1}{2} do x w drugim równaniu: x+5y=-11.

$$\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}+5y=-11$$

Dodaj \frac{3y}{4} do 5y.

$$\frac{23}{4}y+\frac{1}{2}=-11$$

Odejmij \frac{1}{2} od obu stron równania.

$$\frac{23}{4}y=-\frac{23}{2}$$

Podziel obie strony równania przez \frac{23}{4}, co jest równoważne pomnożeniu obu stron przez odwrotność ułamka.

$$y=-2$$

Podstaw -2 do y w równaniu x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=\frac{3}{4}\left(-2\right)+\frac{1}{2}$$

Pomnóż \frac{3}{4} przez -2.

$$x=\frac{-3+1}{2}$$

Dodaj \frac{1}{2} do -\frac{3}{2}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x=-1$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=-1,y=-2$$

Kroki z użyciem macierzy

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze po lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

W przypadku macierzy 2\times 2\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), dlatego równanie macierzy może być ponownie zapisane jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{4\times 5-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{4\times 5-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}&\frac{3}{23}\\-\frac{1}{23}&\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}\times 2+\frac{3}{23}\left(-11\right)\\-\frac{1}{23}\times 2+\frac{4}{23}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=-1,y=-2$$

Kroki z użyciem eliminacji

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Aby czynniki 4x i x były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez 1 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 4.

$$4x-3y=2,4x+4\times 5y=4\left(-11\right)$$

Uprość.

$$4x-3y=2,4x+20y=-44$$

Odejmij 4x+20y=-44 od 4x-3y=2, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$4x-4x-3y-20y=2+44$$

Dodaj 4x do -4x. Czynniki 4x i -4x skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$-3y-20y=2+44$$

Dodaj -3y do -20y.

$$-23y=2+44$$

Dodaj 2 do 44.

$$-23y=46$$

Podziel obie strony przez -23.

$$y=-2$$

Podstaw -2 do y w równaniu x+5y=-11. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x+5\left(-2\right)=-11$$

Pomnóż 5 przez -2.

$$x-10=-11$$

Dodaj 10 do obu stron równania.

$$x=-1$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=-1,y=-2$$