Rozwiąż 4x^2+2x+1=21

$$4 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 21$$

Rozwiąż względem x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=2$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Odejmij 21 od obu stron.

$$4x^{2}+2x+1-21=0$$

Odejmij 21 od 1, aby uzyskać -20.

$$4x^{2}+2x-20=0$$

Podziel obie strony przez 2.

$$2x^{2}+x-10=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 2x^{2}+ax+bx-10. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=1 ab=2\left(-10\right)=-20$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest dodatnie, liczba dodatnia ma większą wartość bezwzględną niż ujemna. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -20.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 1.

$$a=-4 b=5$$

Przepisz 2x^{2}+x-10 jako \left(2x^{2}-4x\right)+\left(5x-10\right).

$$\left(2x^{2}-4x\right)+\left(5x-10\right)$$

2x w pierwszej i 5 w drugiej grupie.

$$2x\left(x-2\right)+5\left(x-2\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik x-2, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(x-2\right)\left(2x+5\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-2=0 i 2x+5=0.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$4x^{2}+2x+1=21$$

Odejmij 21 od obu stron równania.

$$4x^{2}+2x+1-21=21-21$$

Odjęcie 21 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$4x^{2}+2x+1-21=0$$

Odejmij 21 od 1.

$$4x^{2}+2x-20=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 4 do a, 2 do b i -20 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Podnieś do kwadratu 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Pomnóż -4 przez 4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-16\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Pomnóż -16 przez -20.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+320}}{2\times 4}$$

Dodaj 4 do 320.

$$x=\frac{-2±\sqrt{324}}{2\times 4}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 324.

$$x=\frac{-2±18}{2\times 4}$$

Pomnóż 2 przez 4.

$$x=\frac{-2±18}{8}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-2±18}{8} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -2 do 18.

$$x=\frac{16}{8}$$

Podziel 16 przez 8.

$$x=2$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-2±18}{8} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 18 od -2.

$$x=-\frac{20}{8}$$

Zredukuj ułamek \frac{-20}{8} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 4.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+2x+1=21$$

Odejmij 1 od obu stron równania.

$$4x^{2}+2x+1-1=21-1$$

Odjęcie 1 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$4x^{2}+2x=21-1$$

Odejmij 1 od 21.

$$4x^{2}+2x=20$$

Podziel obie strony przez 4.

$$\frac{4x^{2}+2x}{4}=\frac{20}{4}$$

Dzielenie przez 4 cofa mnożenie przez 4.

$$x^{2}+\frac{2}{4}x=\frac{20}{4}$$

Zredukuj ułamek \frac{2}{4} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{20}{4}$$

Podziel 20 przez 4.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=5$$

Podziel \frac{1}{2}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać \frac{1}{4}. Następnie Dodaj kwadrat \frac{1}{4} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=5+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu \frac{1}{4}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=5+\frac{1}{16}$$

Dodaj 5 do \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{81}{16}$$

Współczynnik x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Uprość.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{9}{4}$$

Odejmij \frac{1}{4} od obu stron równania.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$