Rozwiąż 4x^2-5x-6=15

$$4 { x }^{ 2 } -5x-6=15$$

Rozwiąż względem x

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1,75$$

$$x=3$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Odejmij 15 od obu stron.

$$4x^{2}-5x-6-15=0$$

Odejmij 15 od -6, aby uzyskać -21.

$$4x^{2}-5x-21=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 4x^{2}+ax+bx-21. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-5 ab=4\left(-21\right)=-84$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest ujemne, liczba ujemna ma większą wartość bezwzględną niż dodatnia. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -84.

$$1,-84 2,-42 3,-28 4,-21 6,-14 7,-12$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1-84=-83 2-42=-40 3-28=-25 4-21=-17 6-14=-8 7-12=-5$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -5.

$$a=-12 b=7$$

Przepisz 4x^{2}-5x-21 jako \left(4x^{2}-12x\right)+\left(7x-21\right).

$$\left(4x^{2}-12x\right)+\left(7x-21\right)$$

4x w pierwszej i 7 w drugiej grupie.

$$4x\left(x-3\right)+7\left(x-3\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik x-3, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(x-3\right)\left(4x+7\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-3=0 i 4x+7=0.

$$x=3 x=-\frac{7}{4}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$4x^{2}-5x-6=15$$

Odejmij 15 od obu stron równania.

$$4x^{2}-5x-6-15=15-15$$

Odjęcie 15 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$4x^{2}-5x-6-15=0$$

Odejmij 15 od -6.

$$4x^{2}-5x-21=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 4 do a, -5 do b i -21 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4\left(-21\right)}}{2\times 4}$$

Podnieś do kwadratu -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4\left(-21\right)}}{2\times 4}$$

Pomnóż -4 przez 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16\left(-21\right)}}{2\times 4}$$

Pomnóż -16 przez -21.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+336}}{2\times 4}$$

Dodaj 25 do 336.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{361}}{2\times 4}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 361.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±19}{2\times 4}$$

Liczba przeciwna do -5 to 5.

$$x=\frac{5±19}{2\times 4}$$

Pomnóż 2 przez 4.

$$x=\frac{5±19}{8}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{5±19}{8} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 5 do 19.

$$x=\frac{24}{8}$$

Podziel 24 przez 8.

$$x=3$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{5±19}{8} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 19 od 5.

$$x=-\frac{14}{8}$$

Zredukuj ułamek \frac{-14}{8} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 2.

$$x=-\frac{7}{4}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=3 x=-\frac{7}{4}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-5x-6=15$$

Dodaj 6 do obu stron równania.

$$4x^{2}-5x-6-\left(-6\right)=15-\left(-6\right)$$

Odjęcie -6 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$4x^{2}-5x=15-\left(-6\right)$$

Odejmij -6 od 15.

$$4x^{2}-5x=21$$

Podziel obie strony przez 4.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=\frac{21}{4}$$

Dzielenie przez 4 cofa mnożenie przez 4.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=\frac{21}{4}$$

Podziel -\frac{5}{4}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać -\frac{5}{8}. Następnie Dodaj kwadrat -\frac{5}{8} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{21}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{5}{8}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{21}{4}+\frac{25}{64}$$

Dodaj \frac{21}{4} do \frac{25}{64}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{361}{64}$$

Współczynnik x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{361}{64}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{64}}$$

Uprość.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{19}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{19}{8}$$

Dodaj \frac{5}{8} do obu stron równania.

$$x=3 x=-\frac{7}{4}$$