Rozwiąż 3x^4+24x^3+48x^2-x^2-8x-16

$$3 x ^ { 4 } + 24 x ^ { 3 } + 48 x ^ { 2 } - x ^ { 2 } - 8 x - 16$$

Rozłóż na czynniki

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Kroki rozwiązania

Pomnóż i połącz podobne czynniki.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$

Aby rozłożyć wyrażenie na czynniki, rozwiąż równanie, w którym jest ono równe 0.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16=0$$

Według twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu można przedstawić w postaci \frac{p}{q}, gdzie p jest dzielnikiem czynnika stałego -16, a q jest dzielnikiem współczynnika wiodącego 3. Wyświetl listę wszystkich kandydatów \frac{p}{q}.

$$±\frac{16}{3},±16,±\frac{8}{3},±8,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Znajdź jeden taki pierwiastek przez wypróbowanie wszystkich wartości całkowitych, zaczynając od najmniejszej wartości bezwzględnej. Jeśli nie zostaną znalezione żadne pierwiastki, wypróbuj ułamki.

$$x=-4$$

Według twierdzenia o rozkładzie wielomianu na czynniki x-k jest współczynnikiem wielomianu dla każdego pierwiastka k. Podziel 3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16 przez x+4, aby uzyskać 3x^{3}+12x^{2}-x-4. Aby rozłożyć wynik na czynniki, rozwiąż równanie, w którym jest on równy 0.

$$3x^{3}+12x^{2}-x-4=0$$

Według twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu można przedstawić w postaci \frac{p}{q}, gdzie p jest dzielnikiem czynnika stałego -4, a q jest dzielnikiem współczynnika wiodącego 3. Wyświetl listę wszystkich kandydatów \frac{p}{q}.

$$±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Znajdź jeden taki pierwiastek przez wypróbowanie wszystkich wartości całkowitych, zaczynając od najmniejszej wartości bezwzględnej. Jeśli nie zostaną znalezione żadne pierwiastki, wypróbuj ułamki.

$$x=-4$$

Według twierdzenia o rozkładzie wielomianu na czynniki x-k jest współczynnikiem wielomianu dla każdego pierwiastka k. Podziel 3x^{3}+12x^{2}-x-4 przez x+4, aby uzyskać 3x^{2}-1. Aby rozłożyć wynik na czynniki, rozwiąż równanie, w którym jest on równy 0.

$$3x^{2}-1=0$$

Wszystkie równania formularza ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Podstaw 3 do a, 0 do b i -1 do c w formule kwadratowej.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Wykonaj obliczenia.

$$x=\frac{0±2\sqrt{3}}{6}$$

Umożliwia rozwiązanie równania 3x^{2}-1=0, gdy ± jest Plus i gdy ± jest pomniejszona.

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{3} x=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Przepisz wyrażenie rozłożone na czynniki, korzystając z uzyskanych wartości pierwiastków. 3x^{2}-1 wielomianowy nie jest przyczynnika, ponieważ nie ma żadnych wymiernych katalogów głównych.

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Oblicz

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Kroki rozwiązania

Połącz 48x^{2} i -x^{2}, aby uzyskać 47x^{2}.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$