Rozwiąż 3x^2+8x-11=0

$$3 x ^ { 2 } + 8 x - 11 = 0$$

Rozwiąż względem x

$$x = -\frac{11}{3} = -3\frac{2}{3} \approx -3,666666667$$

$$x=1$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 3x^{2}+ax+bx-11. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=8 ab=3\left(-11\right)=-33$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest dodatnie, liczba dodatnia ma większą wartość bezwzględną niż ujemna. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -33.

$$-1,33 -3,11$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1+33=32 -3+11=8$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 8.

$$a=-3 b=11$$

Przepisz 3x^{2}+8x-11 jako \left(3x^{2}-3x\right)+\left(11x-11\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(11x-11\right)$$

3x w pierwszej i 11 w drugiej grupie.

$$3x\left(x-1\right)+11\left(x-1\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik x-1, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(x-1\right)\left(3x+11\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-1=0 i 3x+11=0.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$3x^{2}+8x-11=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 3 do a, 8 do b i -11 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 3\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

Podnieś do kwadratu 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 3\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

Pomnóż -4 przez 3.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-12\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

Pomnóż -12 przez -11.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+132}}{2\times 3}$$

Dodaj 64 do 132.

$$x=\frac{-8±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 196.

$$x=\frac{-8±14}{2\times 3}$$

Pomnóż 2 przez 3.

$$x=\frac{-8±14}{6}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-8±14}{6} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -8 do 14.

$$x=\frac{6}{6}$$

Podziel 6 przez 6.

$$x=1$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-8±14}{6} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 14 od -8.

$$x=-\frac{22}{6}$$

Zredukuj ułamek \frac{-22}{6} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 2.

$$x=-\frac{11}{3}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+8x-11=0$$

Dodaj 11 do obu stron równania.

$$3x^{2}+8x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

Odjęcie -11 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$3x^{2}+8x=-\left(-11\right)$$

Odejmij -11 od 0.

$$3x^{2}+8x=11$$

Podziel obie strony przez 3.

$$\frac{3x^{2}+8x}{3}=\frac{11}{3}$$

Dzielenie przez 3 cofa mnożenie przez 3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=\frac{11}{3}$$

Podziel \frac{8}{3}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać \frac{4}{3}. Następnie Dodaj kwadrat \frac{4}{3} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{11}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu \frac{4}{3}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{11}{3}+\frac{16}{9}$$

Dodaj \frac{11}{3} do \frac{16}{9}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{49}{9}$$

Współczynnik x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Uprość.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{7}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{7}{3}$$

Odejmij \frac{4}{3} od obu stron równania.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$