Rozwiąż 3x^2+23x-8=0

$$3 x ^ { 2 } + 23 x - 8 = 0$$

Rozwiąż względem x

$$x=-8$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 3x^{2}+ax+bx-8. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=23 ab=3\left(-8\right)=-24$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest dodatnie, liczba dodatnia ma większą wartość bezwzględną niż ujemna. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 23.

$$a=-1 b=24$$

Przepisz 3x^{2}+23x-8 jako \left(3x^{2}-x\right)+\left(24x-8\right).

$$\left(3x^{2}-x\right)+\left(24x-8\right)$$

x w pierwszej i 8 w drugiej grupie.

$$x\left(3x-1\right)+8\left(3x-1\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 3x-1, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(3x-1\right)\left(x+8\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: 3x-1=0 i x+8=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-8$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$3x^{2}+23x-8=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 3 do a, 23 do b i -8 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Podnieś do kwadratu 23.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Pomnóż -4 przez 3.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Pomnóż -12 przez -8.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529+96}}{2\times 3}$$

Dodaj 529 do 96.

$$x=\frac{-23±\sqrt{625}}{2\times 3}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 625.

$$x=\frac{-23±25}{2\times 3}$$

Pomnóż 2 przez 3.

$$x=\frac{-23±25}{6}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-23±25}{6} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -23 do 25.

$$x=\frac{2}{6}$$

Zredukuj ułamek \frac{2}{6} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 2.

$$x=\frac{1}{3}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-23±25}{6} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 25 od -23.

$$x=-\frac{48}{6}$$

Podziel -48 przez 6.

$$x=-8$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=\frac{1}{3} x=-8$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+23x-8=0$$

Dodaj 8 do obu stron równania.

$$3x^{2}+23x-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

Odjęcie -8 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$3x^{2}+23x=-\left(-8\right)$$

Odejmij -8 od 0.

$$3x^{2}+23x=8$$

Podziel obie strony przez 3.

$$\frac{3x^{2}+23x}{3}=\frac{8}{3}$$

Dzielenie przez 3 cofa mnożenie przez 3.

$$x^{2}+\frac{23}{3}x=\frac{8}{3}$$

Podziel \frac{23}{3}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać \frac{23}{6}. Następnie Dodaj kwadrat \frac{23}{6} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}+\frac{23}{3}x+\left(\frac{23}{6}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{23}{6}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu \frac{23}{6}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}+\frac{23}{3}x+\frac{529}{36}=\frac{8}{3}+\frac{529}{36}$$

Dodaj \frac{8}{3} do \frac{529}{36}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}+\frac{23}{3}x+\frac{529}{36}=\frac{625}{36}$$

Współczynnik x^{2}+\frac{23}{3}x+\frac{529}{36}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{23}{6}\right)^{2}=\frac{625}{36}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x+\frac{23}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{36}}$$

Uprość.

$$x+\frac{23}{6}=\frac{25}{6} x+\frac{23}{6}=-\frac{25}{6}$$

Odejmij \frac{23}{6} od obu stron równania.

$$x=\frac{1}{3} x=-8$$