Rozwiąż 3x+5y=8text{and}x-2y=-1

$$3 x + 5 y = 8 \text { and } x - 2 y = - 1$$

Rozwiąż względem x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Kroki z użyciem podstawiania

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$3x+5y=8,x-2y=-1$$

Wybierz jedno z równań i Rozwiąż je dla x, izolując x po lewej stronie znaku równości.

$$3x+5y=8$$

Odejmij 5y od obu stron równania.

$$3x=-5y+8$$

Podziel obie strony przez 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+8\right)$$

Pomnóż \frac{1}{3} przez -5y+8.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{8}{3}$$

Podstaw \frac{-5y+8}{3} do x w drugim równaniu: x-2y=-1.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{8}{3}-2y=-1$$

Dodaj -\frac{5y}{3} do -2y.

$$-\frac{11}{3}y+\frac{8}{3}=-1$$

Odejmij \frac{8}{3} od obu stron równania.

$$-\frac{11}{3}y=-\frac{11}{3}$$

Podziel obie strony równania przez -\frac{11}{3}, co jest równoważne pomnożeniu obu stron przez odwrotność ułamka.

$$y=1$$

Podstaw 1 do y w równaniu x=-\frac{5}{3}y+\frac{8}{3}. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=\frac{-5+8}{3}$$

Dodaj \frac{8}{3} do -\frac{5}{3}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x=1$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=1,y=1$$

Kroki z użyciem macierzy

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$3x+5y=8,x-2y=-1$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze po lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

W przypadku macierzy 2\times 2\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), dlatego równanie macierzy może być ponownie zapisane jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-5}&-\frac{5}{3\left(-2\right)-5}\\-\frac{1}{3\left(-2\right)-5}&\frac{3}{3\left(-2\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{5}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 8+\frac{5}{11}\left(-1\right)\\\frac{1}{11}\times 8-\frac{3}{11}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=1,y=1$$

Kroki z użyciem eliminacji

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$3x+5y=8,x-2y=-1$$

Aby czynniki 3x i x były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez 1 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 3.

$$3x+5y=8,3x+3\left(-2\right)y=3\left(-1\right)$$

Uprość.

$$3x+5y=8,3x-6y=-3$$

Odejmij 3x-6y=-3 od 3x+5y=8, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$3x-3x+5y+6y=8+3$$

Dodaj 3x do -3x. Czynniki 3x i -3x skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$5y+6y=8+3$$

Dodaj 5y do 6y.

$$11y=8+3$$

Dodaj 8 do 3.

$$11y=11$$

Podziel obie strony przez 11.

$$y=1$$

Podstaw 1 do y w równaniu x-2y=-1. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x-2=-1$$

Dodaj 2 do obu stron równania.

$$x=1$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=1,y=1$$