Rozwiąż 24x^2-65x+21=0

$$24 x ^ { 2 } - 65 x + 21 = 0$$

Rozwiąż względem x

$$x=\frac{3}{8}=0,375$$

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2,333333333$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 24x^{2}+ax+bx+21. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-65 ab=24\times 21=504$$

Ponieważ ab ma wartość dodatnią, a i b mają ten sam znak. Ponieważ a+b jest wartością ujemną, a i b są ujemne. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn 504.

$$-1,-504 -2,-252 -3,-168 -4,-126 -6,-84 -7,-72 -8,-63 -9,-56 -12,-42 -14,-36 -18,-28 -21,-24$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1-504=-505 -2-252=-254 -3-168=-171 -4-126=-130 -6-84=-90 -7-72=-79 -8-63=-71 -9-56=-65 -12-42=-54 -14-36=-50 -18-28=-46 -21-24=-45$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -65.

$$a=-56 b=-9$$

Przepisz 24x^{2}-65x+21 jako \left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right).

$$\left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right)$$

8x w pierwszej i -3 w drugiej grupie.

$$8x\left(3x-7\right)-3\left(3x-7\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 3x-7, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(3x-7\right)\left(8x-3\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: 3x-7=0 i 8x-3=0.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 24 do a, -65 do b i 21 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{\left(-65\right)^{2}-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

Podnieś do kwadratu -65.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

Pomnóż -4 przez 24.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-96\times 21}}{2\times 24}$$

Pomnóż -96 przez 21.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-2016}}{2\times 24}$$

Dodaj 4225 do -2016.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{2209}}{2\times 24}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 2209.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±47}{2\times 24}$$

Liczba przeciwna do -65 to 65.

$$x=\frac{65±47}{2\times 24}$$

Pomnóż 2 przez 24.

$$x=\frac{65±47}{48}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{65±47}{48} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 65 do 47.

$$x=\frac{112}{48}$$

Zredukuj ułamek \frac{112}{48} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 16.

$$x=\frac{7}{3}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{65±47}{48} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 47 od 65.

$$x=\frac{18}{48}$$

Zredukuj ułamek \frac{18}{48} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 6.

$$x=\frac{3}{8}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

Odejmij 21 od obu stron równania.

$$24x^{2}-65x+21-21=-21$$

Odjęcie 21 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$24x^{2}-65x=-21$$

Podziel obie strony przez 24.

$$\frac{24x^{2}-65x}{24}=-\frac{21}{24}$$

Dzielenie przez 24 cofa mnożenie przez 24.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{21}{24}$$

Zredukuj ułamek \frac{-21}{24} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 3.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{7}{8}$$

Podziel -\frac{65}{24}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać -\frac{65}{48}. Następnie Dodaj kwadrat -\frac{65}{48} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}=-\frac{7}{8}+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{65}{48}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=-\frac{7}{8}+\frac{4225}{2304}$$

Dodaj -\frac{7}{8} do \frac{4225}{2304}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=\frac{2209}{2304}$$

Współczynnik x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}=\frac{2209}{2304}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{2304}}$$

Uprość.

$$x-\frac{65}{48}=\frac{47}{48} x-\frac{65}{48}=-\frac{47}{48}$$

Dodaj \frac{65}{48} do obu stron równania.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$