Rozwiąż 23x^2+11x+9=0

$$23 x ^ { 2 } + 11 x + 9 = 0$$

Rozwiąż względem x (complex solution)

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46}\approx -0,239130435+0,578031991i$$

$$x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}\approx -0,239130435-0,578031991i$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$23x^{2}+11x+9=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 23 do a, 11 do b i 9 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 23\times 9}}{2\times 23}$$

Podnieś do kwadratu 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 23\times 9}}{2\times 23}$$

Pomnóż -4 przez 23.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-92\times 9}}{2\times 23}$$

Pomnóż -92 przez 9.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-828}}{2\times 23}$$

Dodaj 121 do -828.

$$x=\frac{-11±\sqrt{-707}}{2\times 23}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości -707.

$$x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{2\times 23}$$

Pomnóż 2 przez 23.

$$x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{46}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{46} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -11 do i\sqrt{707}.

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{46} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij i\sqrt{707} od -11.

$$x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46} x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$23x^{2}+11x+9=0$$

Odejmij 9 od obu stron równania.

$$23x^{2}+11x+9-9=-9$$

Odjęcie 9 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$23x^{2}+11x=-9$$

Podziel obie strony przez 23.

$$\frac{23x^{2}+11x}{23}=-\frac{9}{23}$$

Dzielenie przez 23 cofa mnożenie przez 23.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x=-\frac{9}{23}$$

Podziel \frac{11}{23}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać \frac{11}{46}. Następnie Dodaj kwadrat \frac{11}{46} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x+\left(\frac{11}{46}\right)^{2}=-\frac{9}{23}+\left(\frac{11}{46}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu \frac{11}{46}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x+\frac{121}{2116}=-\frac{9}{23}+\frac{121}{2116}$$

Dodaj -\frac{9}{23} do \frac{121}{2116}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}+\frac{11}{23}x+\frac{121}{2116}=-\frac{707}{2116}$$

Współczynnik x^{2}+\frac{11}{23}x+\frac{121}{2116}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{46}\right)^{2}=-\frac{707}{2116}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{46}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{707}{2116}}$$

Uprość.

$$x+\frac{11}{46}=\frac{\sqrt{707}i}{46} x+\frac{11}{46}=-\frac{\sqrt{707}i}{46}$$

Odejmij \frac{11}{46} od obu stron równania.

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46} x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}$$