Rozwiąż 20x-x^2=75

$$20 x - x ^ { 2 } = 75$$

Rozwiąż względem x

$$x=5$$

$$x=15$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Odejmij 75 od obu stron.

$$20x-x^{2}-75=0$$

Zmień postać wielomianu, aby nadać mu postać standardową. Umieść czynniki w kolejności od najwyższej do najniższej potęgi.

$$-x^{2}+20x-75=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: -x^{2}+ax+bx-75. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=20 ab=-\left(-75\right)=75$$

Ponieważ ab ma wartość dodatnią, a i b mają ten sam znak. Ponieważ a+b ma wartość dodatnią, a i b są dodatnie. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn 75.

$$1,75 3,25 5,15$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1+75=76 3+25=28 5+15=20$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 20.

$$a=15 b=5$$

Przepisz -x^{2}+20x-75 jako \left(-x^{2}+15x\right)+\left(5x-75\right).

$$\left(-x^{2}+15x\right)+\left(5x-75\right)$$

-x w pierwszej i 5 w drugiej grupie.

$$-x\left(x-15\right)+5\left(x-15\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik x-15, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(x-15\right)\left(-x+5\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-15=0 i -x+5=0.

$$x=15 x=5$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$-x^{2}+20x=75$$

Odejmij 75 od obu stron równania.

$$-x^{2}+20x-75=75-75$$

Odjęcie 75 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$-x^{2}+20x-75=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw -1 do a, 20 do b i -75 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-1\right)\left(-75\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Podnieś do kwadratu 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-1\right)\left(-75\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnóż -4 przez -1.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+4\left(-75\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnóż 4 przez -75.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-300}}{2\left(-1\right)}$$

Dodaj 400 do -300.

$$x=\frac{-20±\sqrt{100}}{2\left(-1\right)}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 100.

$$x=\frac{-20±10}{2\left(-1\right)}$$

Pomnóż 2 przez -1.

$$x=\frac{-20±10}{-2}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-20±10}{-2} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -20 do 10.

$$x=-\frac{10}{-2}$$

Podziel -10 przez -2.

$$x=5$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-20±10}{-2} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 10 od -20.

$$x=-\frac{30}{-2}$$

Podziel -30 przez -2.

$$x=15$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=5 x=15$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+20x=75$$

Podziel obie strony przez -1.

$$\frac{-x^{2}+20x}{-1}=\frac{75}{-1}$$

Dzielenie przez -1 cofa mnożenie przez -1.

$$x^{2}+\frac{20}{-1}x=\frac{75}{-1}$$

Podziel 20 przez -1.

$$x^{2}-20x=\frac{75}{-1}$$

Podziel 75 przez -1.

$$x^{2}-20x=-75$$

Podziel -20, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać -10. Następnie Dodaj kwadrat -10 do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}-20x+\left(-10\right)^{2}=-75+\left(-10\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -10.

$$x^{2}-20x+100=-75+100$$

Dodaj -75 do 100.

$$x^{2}-20x+100=25$$

Współczynnik x^{2}-20x+100. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-10\right)^{2}=25$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-10\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Uprość.

$$x-10=5 x-10=-5$$

Dodaj 10 do obu stron równania.

$$x=15 x=5$$