Rozwiąż 20x^2-11x-3=0

$$20 x ^ { 2 } - 11 x - 3 = 0$$

Rozwiąż względem x

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

$$x=\frac{3}{4}=0,75$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 20x^{2}+ax+bx-3. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-11 ab=20\left(-3\right)=-60$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest ujemne, liczba ujemna ma większą wartość bezwzględną niż dodatnia. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -11.

$$a=-15 b=4$$

Przepisz 20x^{2}-11x-3 jako \left(20x^{2}-15x\right)+\left(4x-3\right).

$$\left(20x^{2}-15x\right)+\left(4x-3\right)$$

Wyłącz przed nawias 5x w 20x^{2}-15x.

$$5x\left(4x-3\right)+4x-3$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 4x-3, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(4x-3\right)\left(5x+1\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: 4x-3=0 i 5x+1=0.

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{1}{5}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$20x^{2}-11x-3=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 20 do a, -11 do b i -3 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 20\left(-3\right)}}{2\times 20}$$

Podnieś do kwadratu -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 20\left(-3\right)}}{2\times 20}$$

Pomnóż -4 przez 20.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-80\left(-3\right)}}{2\times 20}$$

Pomnóż -80 przez -3.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2\times 20}$$

Dodaj 121 do 240.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2\times 20}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 361.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±19}{2\times 20}$$

Liczba przeciwna do -11 to 11.

$$x=\frac{11±19}{2\times 20}$$

Pomnóż 2 przez 20.

$$x=\frac{11±19}{40}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{11±19}{40} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 11 do 19.

$$x=\frac{30}{40}$$

Zredukuj ułamek \frac{30}{40} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 10.

$$x=\frac{3}{4}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{11±19}{40} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 19 od 11.

$$x=-\frac{8}{40}$$

Zredukuj ułamek \frac{-8}{40} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 8.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{1}{5}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$20x^{2}-11x-3=0$$

Dodaj 3 do obu stron równania.

$$20x^{2}-11x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Odjęcie -3 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$20x^{2}-11x=-\left(-3\right)$$

Odejmij -3 od 0.

$$20x^{2}-11x=3$$

Podziel obie strony przez 20.

$$\frac{20x^{2}-11x}{20}=\frac{3}{20}$$

Dzielenie przez 20 cofa mnożenie przez 20.

$$x^{2}-\frac{11}{20}x=\frac{3}{20}$$

Podziel -\frac{11}{20}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać -\frac{11}{40}. Następnie Dodaj kwadrat -\frac{11}{40} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}-\frac{11}{20}x+\left(-\frac{11}{40}\right)^{2}=\frac{3}{20}+\left(-\frac{11}{40}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{11}{40}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}-\frac{11}{20}x+\frac{121}{1600}=\frac{3}{20}+\frac{121}{1600}$$

Dodaj \frac{3}{20} do \frac{121}{1600}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}-\frac{11}{20}x+\frac{121}{1600}=\frac{361}{1600}$$

Współczynnik x^{2}-\frac{11}{20}x+\frac{121}{1600}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{40}\right)^{2}=\frac{361}{1600}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{1600}}$$

Uprość.

$$x-\frac{11}{40}=\frac{19}{40} x-\frac{11}{40}=-\frac{19}{40}$$

Dodaj \frac{11}{40} do obu stron równania.

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{1}{5}$$