Rozwiąż 2x^4-5x^3+4x^2-5x+2

$$2 x ^ { 4 } - 5 x ^ { 3 } + 4 x ^ { 2 } - 5 x + 2$$

Rozłóż na czynniki

$$\left(x-2\right)\left(2x-1\right)\left(x^{2}+1\right)$$

Kroki rozwiązania

Aby rozłożyć wyrażenie na czynniki, rozwiąż równanie, w którym jest ono równe 0.

$$2x^{4}-5x^{3}+4x^{2}-5x+2=0$$

Według twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu można przedstawić w postaci \frac{p}{q}, gdzie p jest dzielnikiem czynnika stałego 2, a q jest dzielnikiem współczynnika wiodącego 2. Wyświetl listę wszystkich kandydatów \frac{p}{q}.

$$±1,±2,±\frac{1}{2}$$

Znajdź jeden taki pierwiastek przez wypróbowanie wszystkich wartości całkowitych, zaczynając od najmniejszej wartości bezwzględnej. Jeśli nie zostaną znalezione żadne pierwiastki, wypróbuj ułamki.

$$x=2$$

Według twierdzenia o rozkładzie wielomianu na czynniki x-k jest współczynnikiem wielomianu dla każdego pierwiastka k. Podziel 2x^{4}-5x^{3}+4x^{2}-5x+2 przez x-2, aby uzyskać 2x^{3}-x^{2}+2x-1. Aby rozłożyć wynik na czynniki, rozwiąż równanie, w którym jest on równy 0.

$$2x^{3}-x^{2}+2x-1=0$$

Według twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu można przedstawić w postaci \frac{p}{q}, gdzie p jest dzielnikiem czynnika stałego -1, a q jest dzielnikiem współczynnika wiodącego 2. Wyświetl listę wszystkich kandydatów \frac{p}{q}.

$$±\frac{1}{2},±1$$

Znajdź jeden taki pierwiastek przez wypróbowanie wszystkich wartości całkowitych, zaczynając od najmniejszej wartości bezwzględnej. Jeśli nie zostaną znalezione żadne pierwiastki, wypróbuj ułamki.

$$x=\frac{1}{2}$$

Według twierdzenia o rozkładzie wielomianu na czynniki x-k jest współczynnikiem wielomianu dla każdego pierwiastka k. Podziel 2x^{3}-x^{2}+2x-1 przez 2\left(x-\frac{1}{2}\right)=2x-1, aby uzyskać x^{2}+1. Aby rozłożyć wynik na czynniki, rozwiąż równanie, w którym jest on równy 0.

$$x^{2}+1=0$$

Wszystkie równania formularza ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Podstaw 1 do a, 0 do b i 1 do c w formule kwadratowej.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Wykonaj obliczenia.

$$x=\frac{0±\sqrt{-4}}{2}$$

x^{2}+1 wielomianowy nie jest przyczynnika, ponieważ nie ma żadnych wymiernych katalogów głównych.

$$x^{2}+1$$

Przepisz wyrażenie rozłożone na czynniki, korzystając z uzyskanych wartości pierwiastków.

$$\left(x-2\right)\left(2x-1\right)\left(x^{2}+1\right)$$

Oblicz

$$\left(x-2\right)\left(2x-1\right)\left(x^{2}+1\right)$$