Rozwiąż 2x^4+7x^3+16x+56=0

$$2 x ^ { 4 } + 7 x ^ { 3 } + 16 x + 56 = 0$$

Rozwiąż względem x (complex solution)

$$x=-\sqrt{3}i+1\approx 1-1,732050808i$$

$$x=-2$$

$$x=1+\sqrt{3}i\approx 1+1,732050808i$$

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

Kroki rozwiązania

Według twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu można przedstawić w postaci \frac{p}{q}, gdzie p jest dzielnikiem czynnika stałego 56, a q jest dzielnikiem współczynnika wiodącego 2. Wyświetl listę wszystkich kandydatów \frac{p}{q}.

$$±28,±56,±14,±7,±4,±8,±\frac{7}{2},±2,±1,±\frac{1}{2}$$

Znajdź jeden taki pierwiastek przez wypróbowanie wszystkich wartości całkowitych, zaczynając od najmniejszej wartości bezwzględnej. Jeśli nie zostaną znalezione żadne pierwiastki, wypróbuj ułamki.

$$x=-2$$

Według twierdzenia o rozkładzie wielomianu na czynniki x-k jest współczynnikiem wielomianu dla każdego pierwiastka k. Podziel 2x^{4}+7x^{3}+16x+56 przez x+2, aby uzyskać 2x^{3}+3x^{2}-6x+28. Umożliwia rozwiązanie równania, którego wynik jest równy 0.

$$2x^{3}+3x^{2}-6x+28=0$$

Według twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu można przedstawić w postaci \frac{p}{q}, gdzie p jest dzielnikiem czynnika stałego 28, a q jest dzielnikiem współczynnika wiodącego 2. Wyświetl listę wszystkich kandydatów \frac{p}{q}.

$$±14,±28,±7,±\frac{7}{2},±2,±4,±1,±\frac{1}{2}$$

Znajdź jeden taki pierwiastek przez wypróbowanie wszystkich wartości całkowitych, zaczynając od najmniejszej wartości bezwzględnej. Jeśli nie zostaną znalezione żadne pierwiastki, wypróbuj ułamki.

$$x=-\frac{7}{2}$$

Według twierdzenia o rozkładzie wielomianu na czynniki x-k jest współczynnikiem wielomianu dla każdego pierwiastka k. Podziel 2x^{3}+3x^{2}-6x+28 przez 2\left(x+\frac{7}{2}\right)=2x+7, aby uzyskać x^{2}-2x+4. Umożliwia rozwiązanie równania, którego wynik jest równy 0.

$$x^{2}-2x+4=0$$

Wszystkie równania formularza ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Podstaw 1 do a, -2 do b i 4 do c w formule kwadratowej.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

Wykonaj obliczenia.

$$x=\frac{2±\sqrt{-12}}{2}$$

Umożliwia rozwiązanie równania x^{2}-2x+4=0, gdy ± jest Plus i gdy ± jest pomniejszona.

$$x=-\sqrt{3}i+1 x=1+\sqrt{3}i$$

Wyświetl listę wszystkich znalezionych rozwiązań.

$$x=-2 x=-\frac{7}{2} x=-\sqrt{3}i+1 x=1+\sqrt{3}i$$

Rozwiąż względem x

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$x=-2$$

Kroki rozwiązania

Według twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu można przedstawić w postaci \frac{p}{q}, gdzie p jest dzielnikiem czynnika stałego 56, a q jest dzielnikiem współczynnika wiodącego 2. Wyświetl listę wszystkich kandydatów \frac{p}{q}.

$$±28,±56,±14,±7,±4,±8,±\frac{7}{2},±2,±1,±\frac{1}{2}$$

Znajdź jeden taki pierwiastek przez wypróbowanie wszystkich wartości całkowitych, zaczynając od najmniejszej wartości bezwzględnej. Jeśli nie zostaną znalezione żadne pierwiastki, wypróbuj ułamki.

$$x=-2$$

Według twierdzenia o rozkładzie wielomianu na czynniki x-k jest współczynnikiem wielomianu dla każdego pierwiastka k. Podziel 2x^{4}+7x^{3}+16x+56 przez x+2, aby uzyskać 2x^{3}+3x^{2}-6x+28. Umożliwia rozwiązanie równania, którego wynik jest równy 0.

$$2x^{3}+3x^{2}-6x+28=0$$

Według twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wszystkie wymierne pierwiastki wielomianu można przedstawić w postaci \frac{p}{q}, gdzie p jest dzielnikiem czynnika stałego 28, a q jest dzielnikiem współczynnika wiodącego 2. Wyświetl listę wszystkich kandydatów \frac{p}{q}.

$$±14,±28,±7,±\frac{7}{2},±2,±4,±1,±\frac{1}{2}$$

Znajdź jeden taki pierwiastek przez wypróbowanie wszystkich wartości całkowitych, zaczynając od najmniejszej wartości bezwzględnej. Jeśli nie zostaną znalezione żadne pierwiastki, wypróbuj ułamki.

$$x=-\frac{7}{2}$$

Według twierdzenia o rozkładzie wielomianu na czynniki x-k jest współczynnikiem wielomianu dla każdego pierwiastka k. Podziel 2x^{3}+3x^{2}-6x+28 przez 2\left(x+\frac{7}{2}\right)=2x+7, aby uzyskać x^{2}-2x+4. Umożliwia rozwiązanie równania, którego wynik jest równy 0.

$$x^{2}-2x+4=0$$

Wszystkie równania formularza ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Podstaw 1 do a, -2 do b i 4 do c w formule kwadratowej.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

Wykonaj obliczenia.

$$x=\frac{2±\sqrt{-12}}{2}$$

Pierwiastek kwadratowy liczby ujemnej nie jest zdefiniowany w ciele liczb rzeczywistych, dlatego nie ma rozwiązań.

$$x\in \emptyset$$

Wyświetl listę wszystkich znalezionych rozwiązań.

$$x=-2 x=-\frac{7}{2}$$