Rozwiąż 2x^2+5x+1<0

$$2 x ^ { 2 } + 5 x + 1 < 0$$

Rozwiąż względem x

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{17}-5}{4},\frac{\sqrt{17}-5}{4}\right)$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Aby rozwiązać nierówność, rozłóż lewą stronę na czynniki. Wielomian kwadratowy można rozkładać na czynniki przy użyciu przekształcenia ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), gdzie x_{1} i x_{2} to rozwiązania równania kwadratowego ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}+5x+1=0$$

Wszystkie równania formularza ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Podstaw 2 do a, 5 do b i 1 do c w formule kwadratowej.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\times 1}}{2\times 2}$$

Wykonaj obliczenia.

$$x=\frac{-5±\sqrt{17}}{4}$$

Umożliwia rozwiązanie równania x=\frac{-5±\sqrt{17}}{4}, gdy ± jest Plus i gdy ± jest pomniejszona.

$$x=\frac{\sqrt{17}-5}{4} x=\frac{-\sqrt{17}-5}{4}$$

Przepisz nierówność za pomocą uzyskanych rozwiązań.

$$2\left(x-\frac{\sqrt{17}-5}{4}\right)\left(x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4}\right)<0$$

Aby iloczyn mógł być ujemny, wartości x-\frac{\sqrt{17}-5}{4} i x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4} muszą mieć przeciwne znaki. Rozważ przypadek, w którym wartość x-\frac{\sqrt{17}-5}{4} jest dodatnia, a wartość x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4} jest ujemna.

$$x-\frac{\sqrt{17}-5}{4}>0 x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4}<0$$

Jest to fałszywe dla każdego elementu x.

$$x\in \emptyset$$

Rozważ przypadek, w którym wartość x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4} jest dodatnia, a wartość x-\frac{\sqrt{17}-5}{4} jest ujemna.

$$x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4}>0 x-\frac{\sqrt{17}-5}{4}<0$$

Rozwiązanie spełniające obie nierówności to x\in \left(\frac{-\sqrt{17}-5}{4},\frac{\sqrt{17}-5}{4}\right).

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{17}-5}{4},\frac{\sqrt{17}-5}{4}\right)$$

Rozwiązaniem końcowym jest suma uzyskanych rozwiązań.

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{17}-5}{4},\frac{\sqrt{17}-5}{4}\right)$$