Rozwiąż 12x^2+17x-7=0

$$12 x ^ { 2 } + 17 x - 7 = 0$$

Rozwiąż względem x

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1,75$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 12x^{2}+ax+bx-7. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=17 ab=12\left(-7\right)=-84$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest dodatnie, liczba dodatnia ma większą wartość bezwzględną niż ujemna. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -84.

$$-1,84 -2,42 -3,28 -4,21 -6,14 -7,12$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1+84=83 -2+42=40 -3+28=25 -4+21=17 -6+14=8 -7+12=5$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 17.

$$a=-4 b=21$$

Przepisz 12x^{2}+17x-7 jako \left(12x^{2}-4x\right)+\left(21x-7\right).

$$\left(12x^{2}-4x\right)+\left(21x-7\right)$$

4x w pierwszej i 7 w drugiej grupie.

$$4x\left(3x-1\right)+7\left(3x-1\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 3x-1, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(3x-1\right)\left(4x+7\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: 3x-1=0 i 4x+7=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{4}$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$12x^{2}+17x-7=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 12 do a, 17 do b i -7 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 12\left(-7\right)}}{2\times 12}$$

Podnieś do kwadratu 17.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 12\left(-7\right)}}{2\times 12}$$

Pomnóż -4 przez 12.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-48\left(-7\right)}}{2\times 12}$$

Pomnóż -48 przez -7.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289+336}}{2\times 12}$$

Dodaj 289 do 336.

$$x=\frac{-17±\sqrt{625}}{2\times 12}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 625.

$$x=\frac{-17±25}{2\times 12}$$

Pomnóż 2 przez 12.

$$x=\frac{-17±25}{24}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-17±25}{24} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -17 do 25.

$$x=\frac{8}{24}$$

Zredukuj ułamek \frac{8}{24} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 8.

$$x=\frac{1}{3}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-17±25}{24} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 25 od -17.

$$x=-\frac{42}{24}$$

Zredukuj ułamek \frac{-42}{24} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 6.

$$x=-\frac{7}{4}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{4}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+17x-7=0$$

Dodaj 7 do obu stron równania.

$$12x^{2}+17x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Odjęcie -7 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$12x^{2}+17x=-\left(-7\right)$$

Odejmij -7 od 0.

$$12x^{2}+17x=7$$

Podziel obie strony przez 12.

$$\frac{12x^{2}+17x}{12}=\frac{7}{12}$$

Dzielenie przez 12 cofa mnożenie przez 12.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x=\frac{7}{12}$$

Podziel \frac{17}{12}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać \frac{17}{24}. Następnie Dodaj kwadrat \frac{17}{24} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x+\left(\frac{17}{24}\right)^{2}=\frac{7}{12}+\left(\frac{17}{24}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu \frac{17}{24}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x+\frac{289}{576}=\frac{7}{12}+\frac{289}{576}$$

Dodaj \frac{7}{12} do \frac{289}{576}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x+\frac{289}{576}=\frac{625}{576}$$

Współczynnik x^{2}+\frac{17}{12}x+\frac{289}{576}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{17}{24}\right)^{2}=\frac{625}{576}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{576}}$$

Uprość.

$$x+\frac{17}{24}=\frac{25}{24} x+\frac{17}{24}=-\frac{25}{24}$$

Odejmij \frac{17}{24} od obu stron równania.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{4}$$