Rozwiąż -6y+2x=12text{and}x-3(x+2)=2y-8x

$$- 6 y + 2 x = 12 \text { and } x - 3 ( x + 2 ) = 2 y - 8 x$$

Rozwiąż względem y, x

$$x=\frac{3}{8}=0,375$$

$$y = -\frac{15}{8} = -1\frac{7}{8} = -1,875$$

Kroki z użyciem podstawiania

Uwzględnij drugie równanie. Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć -3 przez x+2.

$$x-3x-6=2y-8x$$

Połącz x i -3x, aby uzyskać -2x.

$$-2x-6=2y-8x$$

Odejmij 2y od obu stron.

$$-2x-6-2y=-8x$$

Dodaj 8x do obu stron.

$$-2x-6-2y+8x=0$$

Połącz -2x i 8x, aby uzyskać 6x.

$$6x-6-2y=0$$

Dodaj 6 do obu stron. Wynikiem dodania zera do dowolnej wartości jest ta sama wartość.

$$6x-2y=6$$

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$-6y+2x=12,-2y+6x=6$$

Wybierz jedno z równań i Rozwiąż je dla y, izolując y po lewej stronie znaku równości.

$$-6y+2x=12$$

Odejmij 2x od obu stron równania.

$$-6y=-2x+12$$

Podziel obie strony przez -6.

$$y=-\frac{1}{6}\left(-2x+12\right)$$

Pomnóż -\frac{1}{6} przez -2x+12.

$$y=\frac{1}{3}x-2$$

Podstaw \frac{x}{3}-2 do y w drugim równaniu: -2y+6x=6.

$$-2\left(\frac{1}{3}x-2\right)+6x=6$$

Pomnóż -2 przez \frac{x}{3}-2.

$$-\frac{2}{3}x+4+6x=6$$

Dodaj -\frac{2x}{3} do 6x.

$$\frac{16}{3}x+4=6$$

Odejmij 4 od obu stron równania.

$$\frac{16}{3}x=2$$

Podziel obie strony równania przez \frac{16}{3}, co jest równoważne pomnożeniu obu stron przez odwrotność ułamka.

$$x=\frac{3}{8}$$

Podstaw \frac{3}{8} do x w równaniu y=\frac{1}{3}x-2. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem y.

$$y=\frac{1}{3}\times \frac{3}{8}-2$$

Pomnóż \frac{1}{3} przez \frac{3}{8}, mnożąc oba liczniki i oba mianowniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$y=\frac{1}{8}-2$$

Dodaj -2 do \frac{1}{8}.

$$y=-\frac{15}{8}$$

System jest teraz rozwiązany.

$$y=-\frac{15}{8},x=\frac{3}{8}$$

Kroki z użyciem macierzy

Uwzględnij drugie równanie. Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć -3 przez x+2.

$$x-3x-6=2y-8x$$

Połącz x i -3x, aby uzyskać -2x.

$$-2x-6=2y-8x$$

Odejmij 2y od obu stron.

$$-2x-6-2y=-8x$$

Dodaj 8x do obu stron.

$$-2x-6-2y+8x=0$$

Połącz -2x i 8x, aby uzyskać 6x.

$$6x-6-2y=0$$

Dodaj 6 do obu stron. Wynikiem dodania zera do dowolnej wartości jest ta sama wartość.

$$6x-2y=6$$

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$-6y+2x=12,-2y+6x=6$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze po lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&2\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

W przypadku macierzy 2\times 2\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), dlatego równanie macierzy może być ponownie zapisane jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{-6\times 6-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{-6\times 6-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-6\times 6-2\left(-2\right)}&-\frac{6}{-6\times 6-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}&\frac{1}{16}\\-\frac{1}{16}&\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}\times 12+\frac{1}{16}\times 6\\-\frac{1}{16}\times 12+\frac{3}{16}\times 6\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{8}\\\frac{3}{8}\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy y i x.

$$y=-\frac{15}{8},x=\frac{3}{8}$$

Kroki z użyciem eliminacji

Uwzględnij drugie równanie. Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć -3 przez x+2.

$$x-3x-6=2y-8x$$

Połącz x i -3x, aby uzyskać -2x.

$$-2x-6=2y-8x$$

Odejmij 2y od obu stron.

$$-2x-6-2y=-8x$$

Dodaj 8x do obu stron.

$$-2x-6-2y+8x=0$$

Połącz -2x i 8x, aby uzyskać 6x.

$$6x-6-2y=0$$

Dodaj 6 do obu stron. Wynikiem dodania zera do dowolnej wartości jest ta sama wartość.

$$6x-2y=6$$

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$-6y+2x=12,-2y+6x=6$$

Aby czynniki -6y i -2y były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez -2 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez -6.

$$-2\left(-6\right)y-2\times 2x=-2\times 12,-6\left(-2\right)y-6\times 6x=-6\times 6$$

Uprość.

$$12y-4x=-24,12y-36x=-36$$

Odejmij 12y-36x=-36 od 12y-4x=-24, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$12y-12y-4x+36x=-24+36$$

Dodaj 12y do -12y. Czynniki 12y i -12y skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$-4x+36x=-24+36$$

Dodaj -4x do 36x.

$$32x=-24+36$$

Dodaj -24 do 36.

$$32x=12$$

Podziel obie strony przez 32.

$$x=\frac{3}{8}$$

Podstaw \frac{3}{8} do x w równaniu -2y+6x=6. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem y.

$$-2y+6\times \frac{3}{8}=6$$

Pomnóż 6 przez \frac{3}{8}.

$$-2y+\frac{9}{4}=6$$

Odejmij \frac{9}{4} od obu stron równania.

$$-2y=\frac{15}{4}$$

Podziel obie strony przez -2.

$$y=-\frac{15}{8}$$

System jest teraz rozwiązany.

$$y=-\frac{15}{8},x=\frac{3}{8}$$