Rozwiąż (5x-2)^2-(2x-1)(2x+1)=47+x

$$( 5 x - 2 ) ^ { 2 } - ( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 ) = 47 + x$$

Rozwiąż względem x

$$x=-1$$

$$x=2$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Rozważ \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). Mnożenie można przekształcić w różnicę kwadratów, stosując regułę: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Podnieś do kwadratu 1.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Rozwiń \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Podnieś 2 do potęgi 2, aby uzyskać 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

Aby znaleźć wartość przeciwną do 4x^{2}-1, znajdź wartość przeciwną każdego czynnika.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Połącz 25x^{2} i -4x^{2}, aby uzyskać 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Dodaj 4 i 1, aby uzyskać 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Odejmij 47 od obu stron.

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

Odejmij 47 od 5, aby uzyskać -42.

$$21x^{2}-20x-42=x$$

Odejmij x od obu stron.

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

Połącz -20x i -x, aby uzyskać -21x.

$$21x^{2}-21x-42=0$$

Podziel obie strony przez 21.

$$x^{2}-x-2=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: x^{2}+ax+bx-2. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest ujemne, liczba ujemna ma większą wartość bezwzględną niż dodatnia. Jedyna taka para to rozwiązanie systemowe.

$$a=-2 b=1$$

Przepisz x^{2}-x-2 jako \left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right)$$

Wyłącz przed nawias x w x^{2}-2x.

$$x\left(x-2\right)+x-2$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik x-2, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-2=0 i x+1=0.

$$x=2 x=-1$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Rozważ \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). Mnożenie można przekształcić w różnicę kwadratów, stosując regułę: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Podnieś do kwadratu 1.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Rozwiń \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Podnieś 2 do potęgi 2, aby uzyskać 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

Aby znaleźć wartość przeciwną do 4x^{2}-1, znajdź wartość przeciwną każdego czynnika.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Połącz 25x^{2} i -4x^{2}, aby uzyskać 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Dodaj 4 i 1, aby uzyskać 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Odejmij 47 od obu stron.

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

Odejmij 47 od 5, aby uzyskać -42.

$$21x^{2}-20x-42=x$$

Odejmij x od obu stron.

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

Połącz -20x i -x, aby uzyskać -21x.

$$21x^{2}-21x-42=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 21 do a, -21 do b i -42 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Podnieś do kwadratu -21.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Pomnóż -4 przez 21.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-84\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Pomnóż -84 przez -42.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441+3528}}{2\times 21}$$

Dodaj 441 do 3528.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{3969}}{2\times 21}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 3969.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±63}{2\times 21}$$

Liczba przeciwna do -21 to 21.

$$x=\frac{21±63}{2\times 21}$$

Pomnóż 2 przez 21.

$$x=\frac{21±63}{42}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{21±63}{42} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 21 do 63.

$$x=\frac{84}{42}$$

Podziel 84 przez 42.

$$x=2$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{21±63}{42} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 63 od 21.

$$x=-\frac{42}{42}$$

Podziel -42 przez 42.

$$x=-1$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=2 x=-1$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Rozważ \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). Mnożenie można przekształcić w różnicę kwadratów, stosując regułę: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Podnieś do kwadratu 1.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Rozwiń \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Podnieś 2 do potęgi 2, aby uzyskać 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

Aby znaleźć wartość przeciwną do 4x^{2}-1, znajdź wartość przeciwną każdego czynnika.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Połącz 25x^{2} i -4x^{2}, aby uzyskać 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Dodaj 4 i 1, aby uzyskać 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Odejmij x od obu stron.

$$21x^{2}-20x+5-x=47$$

Połącz -20x i -x, aby uzyskać -21x.

$$21x^{2}-21x+5=47$$

Odejmij 5 od obu stron.

$$21x^{2}-21x=47-5$$

Odejmij 5 od 47, aby uzyskać 42.

$$21x^{2}-21x=42$$

Podziel obie strony przez 21.

$$\frac{21x^{2}-21x}{21}=\frac{42}{21}$$

Dzielenie przez 21 cofa mnożenie przez 21.

$$x^{2}+\left(-\frac{21}{21}\right)x=\frac{42}{21}$$

Podziel -21 przez 21.

$$x^{2}-x=\frac{42}{21}$$

Podziel 42 przez 21.

$$x^{2}-x=2$$

Podziel -1, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać -\frac{1}{2}. Następnie Dodaj kwadrat -\frac{1}{2} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{1}{2}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

Dodaj 2 do \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Współczynnik x^{2}-x+\frac{1}{4}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Uprość.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Dodaj \frac{1}{2} do obu stron równania.

$$x=2 x=-1$$