Rozwiąż (3x+1)^2-5(x+1)(x-1)=8-x

$$( 3 x + 1 ) ^ { 2 } - 5 ( x + 1 ) ( x - 1 ) = 8 - x$$

Rozwiąż względem x

$$x=-2$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(3x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)=8-x$$

Odejmij 8 od obu stron.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)-8=-x$$

Dodaj x do obu stron.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)-8+x=0$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć -5 przez x+1.

$$9x^{2}+6x+1+\left(-5x-5\right)\left(x-1\right)-8+x=0$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć -5x-5 przez x-1 i połączyć podobne czynniki.

$$9x^{2}+6x+1-5x^{2}+5-8+x=0$$

Połącz 9x^{2} i -5x^{2}, aby uzyskać 4x^{2}.

$$4x^{2}+6x+1+5-8+x=0$$

Dodaj 1 i 5, aby uzyskać 6.

$$4x^{2}+6x+6-8+x=0$$

Odejmij 8 od 6, aby uzyskać -2.

$$4x^{2}+6x-2+x=0$$

Połącz 6x i x, aby uzyskać 7x.

$$4x^{2}+7x-2=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 4x^{2}+ax+bx-2. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=7 ab=4\left(-2\right)=-8$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest dodatnie, liczba dodatnia ma większą wartość bezwzględną niż ujemna. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -8.

$$-1,8 -2,4$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 7.

$$a=-1 b=8$$

Przepisz 4x^{2}+7x-2 jako \left(4x^{2}-x\right)+\left(8x-2\right).

$$\left(4x^{2}-x\right)+\left(8x-2\right)$$

x w pierwszej i 2 w drugiej grupie.

$$x\left(4x-1\right)+2\left(4x-1\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 4x-1, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(4x-1\right)\left(x+2\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: 4x-1=0 i x+2=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-2$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(3x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)=8-x$$

Odejmij 8 od obu stron.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)-8=-x$$

Dodaj x do obu stron.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)-8+x=0$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć -5 przez x+1.

$$9x^{2}+6x+1+\left(-5x-5\right)\left(x-1\right)-8+x=0$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć -5x-5 przez x-1 i połączyć podobne czynniki.

$$9x^{2}+6x+1-5x^{2}+5-8+x=0$$

Połącz 9x^{2} i -5x^{2}, aby uzyskać 4x^{2}.

$$4x^{2}+6x+1+5-8+x=0$$

Dodaj 1 i 5, aby uzyskać 6.

$$4x^{2}+6x+6-8+x=0$$

Odejmij 8 od 6, aby uzyskać -2.

$$4x^{2}+6x-2+x=0$$

Połącz 6x i x, aby uzyskać 7x.

$$4x^{2}+7x-2=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 4 do a, 7 do b i -2 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Podnieś do kwadratu 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Pomnóż -4 przez 4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-16\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Pomnóż -16 przez -2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+32}}{2\times 4}$$

Dodaj 49 do 32.

$$x=\frac{-7±\sqrt{81}}{2\times 4}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 81.

$$x=\frac{-7±9}{2\times 4}$$

Pomnóż 2 przez 4.

$$x=\frac{-7±9}{8}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-7±9}{8} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -7 do 9.

$$x=\frac{2}{8}$$

Zredukuj ułamek \frac{2}{8} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 2.

$$x=\frac{1}{4}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-7±9}{8} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 9 od -7.

$$x=-\frac{16}{8}$$

Podziel -16 przez 8.

$$x=-2$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=\frac{1}{4} x=-2$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(3x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)=8-x$$

Dodaj x do obu stron.

$$9x^{2}+6x+1-5\left(x+1\right)\left(x-1\right)+x=8$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć -5 przez x+1.

$$9x^{2}+6x+1+\left(-5x-5\right)\left(x-1\right)+x=8$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć -5x-5 przez x-1 i połączyć podobne czynniki.

$$9x^{2}+6x+1-5x^{2}+5+x=8$$

Połącz 9x^{2} i -5x^{2}, aby uzyskać 4x^{2}.

$$4x^{2}+6x+1+5+x=8$$

Dodaj 1 i 5, aby uzyskać 6.

$$4x^{2}+6x+6+x=8$$

Połącz 6x i x, aby uzyskać 7x.

$$4x^{2}+7x+6=8$$

Odejmij 6 od obu stron.

$$4x^{2}+7x=8-6$$

Odejmij 6 od 8, aby uzyskać 2.

$$4x^{2}+7x=2$$

Podziel obie strony przez 4.

$$\frac{4x^{2}+7x}{4}=\frac{2}{4}$$

Dzielenie przez 4 cofa mnożenie przez 4.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x=\frac{2}{4}$$

Zredukuj ułamek \frac{2}{4} do najmniejszych czynników przez odejmowanie i skracanie ułamka 2.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x=\frac{1}{2}$$

Podziel \frac{7}{4}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać \frac{7}{8}. Następnie Dodaj kwadrat \frac{7}{8} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu \frac{7}{8}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{2}+\frac{49}{64}$$

Dodaj \frac{1}{2} do \frac{49}{64}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{81}{64}$$

Współczynnik x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

Uprość.

$$x+\frac{7}{8}=\frac{9}{8} x+\frac{7}{8}=-\frac{9}{8}$$

Odejmij \frac{7}{8} od obu stron równania.

$$x=\frac{1}{4} x=-2$$