Rozwiąż y^2-15y=-54

$${ y }^{ 2 } -15y=-54$$

Rozwiąż względem y

$$y=6$$

$$y=9$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki

Dodaj 54 do obu stron.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż y^{2}-15y+54 na czynniki przy użyciu formuły y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-15 ab=54$$

Ponieważ ab ma wartość dodatnią, a i b mają ten sam znak. Ponieważ a+b jest wartością ujemną, a i b są ujemne. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn 54.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -15.

$$a=-9 b=-6$$

Zapisz ponownie wyrażenie rozłożone na czynniki \left(y+a\right)\left(y+b\right), używając uzyskanych wartości.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: y-9=0 i y-6=0.

$$y=9 y=6$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Dodaj 54 do obu stron.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: y^{2}+ay+by+54. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-15 ab=1\times 54=54$$

Ponieważ ab ma wartość dodatnią, a i b mają ten sam znak. Ponieważ a+b jest wartością ujemną, a i b są ujemne. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn 54.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -15.

$$a=-9 b=-6$$

Przepisz y^{2}-15y+54 jako \left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right).

$$\left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right)$$

y w pierwszej i -6 w drugiej grupie.

$$y\left(y-9\right)-6\left(y-9\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik y-9, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: y-9=0 i y-6=0.

$$y=9 y=6$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$y^{2}-15y=-54$$

Dodaj 54 do obu stron równania.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=-54-\left(-54\right)$$

Odjęcie -54 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=0$$

Odejmij -54 od 0.

$$y^{2}-15y+54=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 1 do a, -15 do b i 54 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 54}}{2}$$

Podnieś do kwadratu -15.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 54}}{2}$$

Pomnóż -4 przez 54.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-216}}{2}$$

Dodaj 225 do -216.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 9.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±3}{2}$$

Liczba przeciwna do -15 to 15.

$$y=\frac{15±3}{2}$$

Teraz rozwiąż równanie y=\frac{15±3}{2} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 15 do 3.

$$y=\frac{18}{2}$$

Podziel 18 przez 2.

$$y=9$$

Teraz rozwiąż równanie y=\frac{15±3}{2} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 3 od 15.

$$y=\frac{12}{2}$$

Podziel 12 przez 2.

$$y=6$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$y=9 y=6$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-15y=-54$$

Podziel -15, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać -\frac{15}{2}. Następnie Dodaj kwadrat -\frac{15}{2} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$y^{2}-15y+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-54+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{15}{2}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=-54+\frac{225}{4}$$

Dodaj -54 do \frac{225}{4}.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=\frac{9}{4}$$

Współczynnik y^{2}-15y+\frac{225}{4}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Uprość.

$$y-\frac{15}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{15}{2}=-\frac{3}{2}$$

Dodaj \frac{15}{2} do obu stron równania.

$$y=9 y=6$$